第二章信源熵改-习题答案

·1·2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0,1,2,3}八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/24loglog)(1八进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/38loglog)(2二进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH/12loglog)(0所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。2.2居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X代表女孩子学历Xx1（是大学生）x2（不是大学生）P(X)0.250.75设随机变量Y代表女孩子身高Yy1（身高160cm）y2（身高160cm）P(Y)0.50.5已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：bitxyp75.0)/(11求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量即：bitypxypxpyxpyxI415.15.075.025.0log)()/()(log)/(log)/(111111112.3一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问(1)任一特定排列所给出的信息量是多少？(2)若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解：(1)52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：!521)(ixpbitxpxIii581.225!52log)(log)((2)52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：·2·bitCxpxICxpiii208.134log)(log)(4)(1352131352132.4设离散无记忆信源8/14/1324/18/310)(4321xxxxXPX，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求(1)此消息的自信息量是多少？(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：62514814183p此消息的信息量是：bitpI811.87log(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：bitnI951.145/811.87/2.5从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：男士：symbolbitxpxpXHbitxpxIxpbitxpxIxpiiiNNNYYY/366.0)93.0log93.007.0log07.0()(log)()(105.093.0log)(log)(%93)(837.307.0log)(log)(%7)(2女士：symbolbitxpxpXHiii/045.0)995.0log995.0005.0log005.0()(log)()(22.6设信源17.016.017.018.019.02.0)(654321xxxxxxXPX，求这个信源的熵，并解释为什么H(X)log6不满足信源熵的极值性。解：585.26log)(/657.2)17.0log17.016.0log16.017.0log17.018.0log18.019.0log19.02.0log2.0()(log)()(26XHsymbolbitxpxpXHiii·3·不满足极值性的原因是107.1)(6iixp。2.7同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1)“3和5同时出现”这事件的自信息；(2)“两个1同时出现”这事件的自信息；(3)两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4)两个点数之和（即2,3,…,12构成的子集）的熵；(5)两个点数中至少有一个是1的自信息量。解：(1)bitxpxIxpiii170.4181log)(log)(18161616161)((2)bitxpxIxpiii170.5361log)(log)(3616161)((3)两个点数的排列如下：111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566共有21种组合：其中11，22，33，44，55，66的概率是3616161其他15个组合的概率是18161612symbolbitxpxpXHiii/337.4181log18115361log3616)(log)()((4)参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：symbolbitxpxpXHXPXiii/274.361log61365log365291log912121log1212181log1812361log3612)(log)()(36112181111211091936586173656915121418133612)(·4·(5)bitxpxIxpiii710.13611log)(log)(3611116161)(2.8证明：H(X1X2。。。Xn)≤H(X1)+H(X2)+…+H(Xn)证明：...)/()(0);()/()(0);().../(...)/()/()()...(21332131221212121312121XXXHXHXXXIXXHXHXXIXXXXHXXXHXXHXHXXXHnnn)(...)()()()...().../()(0)...;(32121121121nnnNNnNXHXHXHXHXXXHXXXXHXHXXXXI2.9证明：H(X3/X1X2)≤H(X3/X1)，并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。证明：0log1)/()(log)()/()(log1)/()/()()/()/(log)()/(log)()/(log)()/(log)()/(log)()/()/(2123132121233211231321123221313321123213133211231332112321332113133112321332113213exxpxxpexxxpxxpxxpexxxpxxpxxxpxxxpxxpxxxpxxpxxxpxxxpxxxpxxpxxpxxxpxxxpXXHXXXHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii氏链是马等式成立的条件是时等式成立当_,,)/()/()/()()/()/()()()/()/()()/()/(01)/()/()/()/(321132131232113121212131321213132131313213XXXxxxpxxpxxpxxxpxxpxxpxpxxpxxxpxxpxxpxxxpxxpxxxpxxpXXHXXXHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii2.10对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，·5·调查结果得联合出现的相对频度如下：忙晴雨冷12暖8暖16冷27闲晴雨冷8暖15暖12冷5若把这些频度看作概率测度，求：(1)忙闲的无条件熵；(2)天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵；(3)从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。解：(1)根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：symbolbitxpxpXHxxXPXiii/964.010340log1034010363log10363)(log)()(1034010363闲忙)(221(2)设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量ZsymbolbitYZHXYZHYZXHsymbolbitzypzypYZHsymbolbitzyxpzyxpXYZHjkkjkjijkkjikji/859.0977.1836.2)()()/(/977.110328log1032810332log1033210323log1032310320log10320)(log)()(/836.210312log103121035log103510315log103151038log103810316log1031610327log103271038log103810312log10312)(log)()((3)(;)()(/)0.9640.8590.105/IXYZHXHXYZbitsymbol2.11有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为YXx1=0x2=1y1=01/83/8·6·y2=13/81/8并定义另一随机变量Z=XY（一般乘积），试计算：(1)H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ)和H(XYZ)；(2)H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ)和H(Z/XY)；(3)I(X;Y),I(X;Z),I(Y;Z),I(X;Y/Z),I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。解：(1)symbolbitypypYHyxpyxpypyxpyxpypsymbolbitxpxpXHyxpyxpxpyxpyxpxpjjjiii/1)(log)()(218183)()()(218381)()()(/1)(log)()(218183)()()(218381)()()(22212121112212221111Z=XY的概率分布如下：symbolbitzpZHzzZPZkk/544.081log8187log87)()(818710)(221symbolbitzxpzxpXZHzpzxpzxpzxpzpzxpzpzxpzxpzxpzpxpzxpzxpzxpzxpxpikkiki/406.181log8183log8321log21)(log)()(81)()()()()(835.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(2222221211112121111112121111·7·symbolbitzypzypYZHzpzypzypzypzpzypzpzypzypzypzpypzypzypzypzypypjkkjkj/406.181log8183log8321log21)(log)()(81)()()()()(835.087)()()()()()(5.0)(