第二章函数2-7函数与方程函数模型及其应用

第2章第7节一、选择题1．(文)(2010·北京市延庆县)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的区间是()A．(1,2)B．(2，e)C．(e,3)D．(3,4)[答案]B[解析]∵f(2)＝ln2－10，f(e)＝1－2e0，故选B.(理)(2010·北京东城区)若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)＝0的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()A.－12，14B.－14，12C.14，12D.14，12[答案]C[解析]由题意知，f(－1)·f(0)＝(2m－1)·(2m＋1)＝4m2－10，∴－12m12，又f(1)·f(2)＝(4m－1)(8m－7)0，∴14m78，∴14m12.2．(2010·四川)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1[答案]A[解析]由－m2＝1得，m＝－2.3．(文)(2010·福建理，4)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]令x2＋2x－3＝0得，x＝－3或1∵x≤0，∴x＝－3，令－2＋lnx＝0得，lnx＝2∴x＝e20，故函数f(x)有两个零点．(理)(2010·福建省福州市)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a、b、c，则()A．abcB．acbC．bacD．cab[答案]B[解析]由于f(－1)＝12－1＝－120，f(0)＝10，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)；∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h12＝－1＋12＝－120，h(1)＝10，故h(x)的零点c∈12，1，因此，acb.[点评]求函数f(x)的零点可直接令f(x)＝0解方程；若f(x)为分段函数，则要注意每段上自变量的允许取值范围；若是讨论零点个数或比较零点的大小，常用单调性和图象辅助讨论．请再练习下列两题：①(2010·合肥市)函数f(x)＝lnx＋2x－6x0－xx＋1x≤0的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]令－x(x＋1)＝0得x＝0或－1，满足x≤0；当x0时，∵lnx与2x－6都是增函数，∴f(x)＝lnx＋2x－6(x0)为增函数，∵f(1)＝－40，f(3)＝ln30，∴f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，故f(x)共有3个零点．②(2010·吉林市质检)函数f(x)＝12x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]在同一坐标系中作出函数y＝12x与y＝sinx的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．4．(2010·安徽江南十校联考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A．f(x)＝|x|xB．f(x)＝12x－1＋12C．f(x)＝ex－e－xex＋e－xD．f(x)＝lgsinx[答案]C[解析]根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f(x)＝|x|x不存在零点；f(x)＝12x－1＋12不存在零点；f(x)＝ex－e－xex＋e－x的定义域为全体实数，且f(－x)＝e－x－exe－x＋ex＝－f(x)，故此函数为奇函数，且令f(x)＝ex－e－xex＋e－x＝0，得x＝0，函数f(x)存在零点；f(x)＝lgsinx不具有奇偶性．5．(文)(2010·福州市质检)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2009)＋f(－2010)的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]C[解析]依题意得，x≥0时，有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2009)＋f(－2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)，而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2009)＋f(－2010)＝1，故选C.(理)(2010·安徽合肥质检)已知函数f(x)＝2x－1x≤0fx－1＋1x0，把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()A．an＝nn－12(n∈N*)B．an＝n(n－1)(n∈N*)C．an＝n－1(n∈N*)D．an＝2n－2(n∈N*)[答案]C[解析]当x≤0时，f(x)＝2x－1；当0x≤1时，f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－1－1＋1＝2x－1；当1x≤2时，f(x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝2x－2－1＋2＝2x－2＋1；…∴当x≤0时，g(x)的零点为x＝0；当0x≤1时，g(x)的零点为x＝1；当1x≤2时，g(x)的零点为x＝2；…当n－1x≤n(n∈N*)时，g(x)的零点为n，故a1＝0，a2＝1，a3＝2，…，an＝n－1.6．(文)(2010·山东临沂)若a，b在区间[0，3]上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是()A.12B.33C.36D．1－36[答案]C[分析]①f(x)在R上有两个相异极值点，即f(x)在R上的变化规律为增→减→增(或减→增→减)．又f(x)为三次函数，故其导函数f′(x)为二次函数，f′(x)＝0应有两不等实根，∴Δ0.②凡涉及两个变量在实数区间内取值的概率问题，一般都可以通过把这两个变量看作坐标平面内点的坐标转化为平面上的区域问题求解．[解析]易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2－12a20，又a，b在区间[0，3]上取值，则a0，b3a，点(a，b)满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32，故所求的概率是36.(理)设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为()A.12B.58C.1116D.34[答案]C[解析]因为f(x)＝x3＋ax－b，所以f′(x)＝3x2＋a.因为a∈{1,2,3,4}，因此f′(x)0，所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则f1＝1＋a－b≤0f2＝8＋2a－b≥0，解得a＋1≤b≤8＋2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8.a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.7．(文)(2010·济南一中)如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选()A．P点B．Q点C．R点D．S点[答案]B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a0)，设si(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在Q点，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果选在R处，s3＝6a×4＋2a×3＋3a＋4a×2＝33a，如果选在S处，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少．(理)(2010·北京西城区抽检)某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A—B为2000元；A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D的机票价格为()(注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)A．1000元B．1200元C．1400元D．1500元[答案]D[解析]注意观察各地价格可以发现：A、C、D三点共线，A、C、B构成以C为顶点的直角三角形，如图可知BD＝5×300＝1500.[点评]观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．8．定义域为D的函数f(x)同时满足条件：①常数a，b满足ab，区间[a，b]⊆D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb](k∈N*)，那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩形”函数．函数f(x)＝x3是[a，b]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a，b)共有()A．1对B．2对C．3对D．4对[答案]C[分析]由“k级矩形”函数的定义可知，f(x)＝x3的定义区间为[a，b]时，值域为[a，b]，可考虑应用f(x)的单调性解决．[解析]∵f(x)＝x3在[a，b]上单调递增，∴f(x)的值域为[a3，b3]．又∵f(x)＝x3在[a，b]上为“1级矩形”函数，∴a3＝ab3＝b，解得a＝－1b＝0或a＝0b＝1或a＝－1b＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评]自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．9．(文)(2010·江苏南通九校)若a1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则1m＋1n的取值范围是()A．(3.5，＋∞)B．(1，＋∞)C．(4，＋∞)D．(4.5，＋∞)[答案]B[分析]欲求1m＋1n的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f(x)与g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标，因为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称，又因直线y＝－x＋4垂直于直线y＝x，指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标之和是直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．[解析]令ax＋x－4＝0得ax＝－x＋4，令logax＋x－4＝0得logax＝－x＋4，在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝logax，y＝－x＋4的图象，结合图形可知，n＋m为直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，由y＝xy＝－x＋4，解得x＝2，所以n＋m＝4，因为(n＋m)1n＋1m＝1＋1＋mn＋nm≥4，又n≠m，故(n＋m)1n＋1m4，则1n＋1m1.(理)函数f(x)＝x2－ax＋2b的零点有两个，一个在区间(0,1)上，另一个在区间(1,2)上，则2a＋3b的取值范围是()A．(2,9)B．(2,4)C．(4,9)D．(4,17)[答案]A[解析]f(x)＝x2－ax＋2b，由题意知，f00f10f20，∴b0a－2b－10a－b－20，二元一次不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括边界)，由a－2b－1＝0a－b－2＝0，解