第二章分解因式知识点总结及例题

朝阳学校数学教学资料1第二章分解因式一.分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二.提公共因式法1.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:)(cbaacab2.概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:)(cbammcmbma3.易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三.运用公式法1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2.主要公式:(1)平方差公式:))((22bababa(2)完全平方公式:222)(2bababa222)(2bababa补充：欧拉公式：abcabcabcabcabbcca3332223()()12222()[()()()]abcabbcca特别地：（1）当abc0时，有abcabc3333（2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。朝阳学校数学教学资料23.因式分解要分解到底.如))((222244yxyxyx就没有分解到底.4.运用公式法:(1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5.因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四.分组分解法:1.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如:))(()()(nmbanmbnmabnbmanam2.概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3.注意:分组时要注意符号的变化.五.十字相乘法:1.对于二次三项式cbxax2,将a和c分别分解成两个因数的乘积,21aaa,21ccc,且满足1221cacab,往往写成c2a2c1a1的形式,将二次三项式进行分解.如:))((22112cxacxacbxax2.二次三项式qpxx2的分解:))((2bxaxqpxxabqbapqpxx2分解因式时,如果常数项q3.规律内涵:(1)理解:把是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.ba11朝阳学校数学教学资料3(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4.易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.提公因式法1.把下列各式因式分解（1）axabxacxaxmmmm2213（2）aababaabba()()()322222.利用提公因式法简化计算过程例：计算13689875211368987456136898726813689871233.在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值。4.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，323222nnnn一定是10的倍数。5、中考点拨：例1。因式分解322xxx()()例2．分解因式：412132qpp()()题型展示：例1.计算：200020012001200120002000例2.已知：xbxc2（b、c为整数）是xx42625及3428542xxx的公因式，求b、c的值。例3.设x为整数，试判断1052xxx()是质数还是合数，请说明理由。【实战模拟】1.分解因式：朝阳学校数学教学资料4（1）41222332mnmnmn（2）axabxacxadxnnnn2211（n为正整数）（3）aababaabba()()()3222222.计算：()()221110的结果是（）A.2100B.210C.2D.13.已知x、y都是正整数，且xxyyyx()()12，求x、y。4.证明：812797913能被45整除。5.化简：111121995xxxxxxx()()()…，且当x0时，求原式的值。公式法【分类解析】1.把aabb2222分解因式的结果是（）A.()()()abab22B.()()abab2C.()()abab2D.()()abba22222.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232xxm有一个因式是21x，求m的值。3.在几何题中的应用。例：已知abc、、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。5、中考点拨：例1：因式分解：xxy324________。例2：分解因式：2883223xyxyxy_________。题型展示：朝阳学校数学教学资料5例1.已知：ambmcm121122123，，，求aabbaccbc222222的值。例2.已知abcabc00333，，求证：abc5550例3.若xyxxyy3322279，，求xy22的值。【实战模拟】1.分解因式：（1）()()aa23122（2）xxyxyx5222()()（3）axyaxyxy22342()()()2.已知：xx13，求xx441的值。3.若abc，，是三角形的三条边，求证：abcbc222204.已知：210，求2001的值。5.已知abc，，是不全相等的实数，且abcabcabc03333，，试求（1）abc的值；（2）abcbcacab()()()111111的值。分组分解法【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式211242aaaaa()分解因式，所得的结果为（）AaaBaaCaaDaa.().().().()222222221111例2.分解因式xxxxx543212.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足abacbac，2222证明：以a、b、c为三边能构成三角形3.在方程中的应用例：求方程xyxy的整数解朝阳学校数学教学资料64、中考点拨例1.分解因式：1222mnmn_____________。例2．分解因式：xyxy22____________例3.分解因式：xxx323412____________5、题型展示：例1.分解因式：mnmnn222141()例2.已知：abcdacbd2222110，，且，求ab+cd的值。例3.分解因式：xx323【实战模拟】1.填空题：（）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：13322444311222233aabbxxxyyymnmnmn()2.已知：abcaacabcbcb03223，求的值。3.分解因式：15aa4.已知：xyzAxyzxyzxyxzA2223330，是一个关于的一次多项式，且,,()()，试求A的表达式。5.证明：()()()()()ababababab22111222十字相乘法【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.已知：xx211240，求x的取值范围。例2.如果xxmxmx43222能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。2.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足xyxxyy22220，求长方形的面积。3、在代数证明题中的应用例.证明：若4xy是7的倍数，其中x，y都是整数，则810322xxyy是49的倍朝阳学校数学教学资料7数。4、中考点拨例1.把22224954yyxyx分解因式的结果是________________。例2.因式分解：6752xx_______________5、题型展示例1.若xymxy2256能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1B.-1C.1D.2例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足acbacb24。求证：abbc例3.若xxxa3257有一因式x1。求a，并将原式因式分解。【实战模拟】1.分解因式：（1）abab221639（2）15742122xxyynnnn（3）xxxx2223223722.在多项式xxxxxxxxx123232123222，，，，，，哪些是多项式xxxx242221029的因式？3.已知多项式21332xxxk有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。4.分解因式：3529422xxyyxy5.已知：xyxy05312..，，求312922xxyy的值。