第二章初等模型习题解答

1题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物体重（g）心率（次/分）田鼠家鼠兔小狗大狗羊人马256702004202000205500012030000855000070700007245000038解：动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为，则3/2SP。P正比于血流量Q，而qrQ，其中q是动物每次心跳泵出的血流量，r为心率。合理地假设q与成正比，于是rP。综上可得3/1r，或3/1kr。由所给数据估计得310897.20k，将实际数据与模型结果比较如下表：动物实际心率（次/分）模型结果（次/分）田鼠家鼠兔小狗大狗羊人马67071542037520516612012285677057725138272题目：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长cm36.831.843.836.832.145.135.932.1重量g75648211627374821389652454胸围cm24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设⑴设鱼的重量为；⑵语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w与身长l的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即31vkw，1k为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是ldkw22，2k为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k=0.0146，2k=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量g76548211627374821389652454模型31vkw72746912267274831339675483模型ldkw2273046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意。结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。3题目：考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。本题中涉及的物理量有阻力f、摆长l、质量m、重力加速度g、周期t。分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f与摆的速度成正比所以f的量纲与v的量纲相同[f]=[v]=LT1,[t]=T,[m]=M;[g]=LT2,[l]=L。设这些物理量之间的关系为：4321aaaafglmt,因此量纲表达为：4321][][][][][aaaafglmt把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：4321)()(12aaaaLTLTLMT按照量纲齐次原则应有1200434321aaaaaa最后解得：)(2121mgklgrt作物理模拟的比例模型时，设g和k不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：mmlltt,,,,,那么只要mmrr//就有rrtt4题目：小球做竖直上抛运动：质量为m的小球以速度v竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数k。设初始位置为x=0，x轴竖直向上，则运动方程为：mx+kx+mg=0,x(0)=0,x（0）=v，方程的解可表为x=x(t;v,g,m,k).试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k很小时求近似解的可能性]30[建模与解题：注意到[k]=mt1,,(1)选取特征尺度tc=m1k,xc=2v,则方程化为2x+2x+1=0，x（0）=0，x（0）=1——（1）其中=kv/mg，解可表示为x=x（t；）。k很小时很小，（1）无解。（2）选取tc=v1g，cx=2v1g，则x+x+1=0，x（0）=0，x（0）=1同上，x表达式同上。但当k很小时（2）有解。它正是原问题忽略阻力时的近似解。5录象机计数器的用途一、问题：老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型．二、模型假设：1）录象带的线速度是常数v；2）计数器的读数n与右轮盘转的圈数（记作m）成正比nkm*，k为比例系数；3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数w，空右轮盘半径为r;4)初始时刻t=0时n=0;三、建立模型：当右轮盘转到第i圈时其半径为iwr*，周长为2*(r+w*i)，m圈的总长度恰等于录象带转过的长度tv*，即：12*(*)*mirwivt四、模型求解：因为m=k*n有:12*(*)*mirwivt推出：221()*2******2rwknKnwvt考虑wr所以有222*******krnknwvt推出：222******krnknwtvv我们可以应用Mathematica编程求解，程序如下：Slove[nki*12*(tviwr*)*,t]结果为:vwnkwnkrnkt******222*6问题：质量为m的小球以速度v竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为k，设初始位置为xx,0轴竖直向上，则运动方程为vxxmgxkxm)0(,0)0(,0方程的解可表示为),,,;(kmgvtx。试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k很小时求近似解的可能性。问题分析：所谓无量纲化是指：对于变量x和t分别构造具有相同量纲的参数组合xc和tc，使新变量txccttxx,为无量纲量。xc称为特征长度，tc称为特征时间。统称特征尺度或参考尺度。问题求解：tmk1可以选取以下两种尺度将问题无量纲化（1）选取尺度gvxktccm121,，则方程化为aaaxxxx122)0(,0)0(,01（1）其中mgkva，解可以表示为);(atxx。k很小时（1）无解。（2）选取尺度gvxgtccv121,，则方程化为1)0(,0)0(,01xxxax（2）其中mgkva，解可以表示为);(atxx。k很小时（2）有解。它是原问题忽略阻力时的近似解。结果：原问题忽略阻力时运动方程为vxxmgxm)0(,0)0(,0（3）解方程（3）可得：,0,212tvtgxtxtgv22gv7题目一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长cm36.831.843.836.832.145.135.932.1重量g75648211627374821389652454胸围cm24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析，再用数据确定参数。问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设⑴设鱼的重量为；⑵语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w与身长l的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即31vkw，1k为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是ldkw22，2k为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k=0.0146，2k=0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量g76548211627374821389652454模型31vkw72746912267274831339675483模型ldkw2273046511007304831471607483通过机理分析，基本上满意。结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，从上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。8题目.雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。解:一符号说明设雨滴质量m，体积V，表面积S，雨滴的特征尺寸L，重力f1,空气阻力f2.,雨滴下降速度为v.二问题分析与模型建立：根据已知条件可知：m∝V∝L3,S∝L2.可得：S∝m2/3。我们知道，雨滴在重力f1和空气阻力f2的作用下是匀速v下降的，从而可以得出：f1=f2.又f1∝m,f2∝Sv2.由以上关系可以得出：v∝m1/6.三结果分析：本问题主要考察的是用量刚分析方法求速度，量刚分析是在经验和实验的基础上利用物理定理的量刚齐次原则，确定各物理量之间的关系。9动物的体重与心率之间的关系.生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验.动物体重(g)心率(次/分)田鼠家鼠兔子小狗大狗羊人马252002000500030000500007000045000067042020512085707238解2．建立模型动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为W，则P∝S∝W2/3。又P正比于血流量Q=qr,其中q是动物每次心跳泵出的血流量，r为心率，合理的假设q与w成正比，于是P∝wr.综上可得r∝w-1/3,或r=k.由所给数据估计得k=2089.7,将实际数据与模型结果比较如下表：动物模型结果实际心律（心/分）田鼠715670家鼠357420兔166205小狗122120大狗6785羊5770人5172马2738由于只是粗糙的作出假设,所以拟合的并不是很好.10题目：雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系.假设：1.雨滴是圆滑规则球体。2.雨滴下落过程中除了空气阻力和自身重力外不受其他外力3.雨滴一旦产生，就一定会下落一直到地面4.雨滴质量均匀，且重心位于球心5.雨滴下落过程中重力加速度的改变可以忽略不计6.雨滴由密度固定的