第二章初等积分法

第二章初等积分法习题2-1判断下列方程是否为恰当方程；并对恰当方程求解。,,,2Q2yP,2.2P0y2()2yx.2,02,2,0P,12,13.0)12()13.(.12222CxyyxxQyPxyxQyxdyxdxxQyxQxPdyxdxx通积分为：故方程为恰当方程。，因解：令）（故不是。因解：令),2),22(,,P,,P).,(,0)().(32222为任意常数（故通积分为故方程为恰当方程。因解：令为常数和KKcybxyaxbxyycxadbxdybydxcydyaxdxxQyPbxQbycybxQbyaxcbadycybxdxbyax故不是。因令解,0,,P,,P;).0(,0)().(4bbxQbycybxQbyaxbdycybxdxbyax.sinsin),sinsin(sin2coscos,.cos2,cos2P.sin2,cos)1(.0sin2cos)1.(522222CuutuutdudttuduudutuQtPutuQuttutQutPudttudut故通积分为故方程为恰当方程。故解：令.2),2(22,.2,2P,2,2.0)2()2.(622222CxyeyexyyeeddxyxydydyedxyedxexQyPyexQyeyxyeQyeyePdyxyedxyeyexxxxxxxxxxxxxxx故通积分为故是恰当方程。因解：令.ln3),ln3(2ln,,1,1P,2ln,P;,0)2(ln).(72323222CxyyxxyyxdydyxdydxxydxxxQyPxxQxyyxQxxydyyxdxxxy故通积分为故是恰当方程。因令：解KxyyxbxyxadbxydydxbydxaxbcbcbccyxQbyycxyQbyaxcbacxydydxbyaxln3),3(2,22:,,2,,2P,,P;,(,0).(82323222222故通积分为当时，不是恰当方程。当是恰当方程当因令：解为常数）和..),(12,,21,12P,,12P;,0)12.(9222222222222CtssCtstststsddttsdstldttsdstssQtPtssQtsttssQtsdttssdsts故通积分为故是恰当方程。因令：解CyxFCKFKfKfKFCdKKfdKKfyxyxdyxfdyyxfdxyxfxQyPxfyxyxfyxQyfxyyxfxyyxyfQyxxffdyyxyfdxyxxf)(,)().((K)F')()(.)(,0)(21,K),()(21)(2121,,2')(,,2')(P,(),P;)(,0)()(.1022222222222222222222222222即故通积分为的一个不定积分，是令令）（故是恰当方程。因）（令：解是连续的可微函数其中习题2-21.求解下列微分方程，并指出这些方程在xOy平面上有意义的区域：.0(,2323,0;).1(322222）其通积分为程它是一个变量分离的方解：yCxyCyxydydxxyxdxdy.1,0(,1ln230)21ln31(021)1(31)01(010)1;1().2(32232333323232）（解：）xyCxyyxddyxxdxydydxxxdyxydxxxyxdxdy0sindx.32xydy）（解：①0)cos(1cos10sin02yxCCxyxdxdydyy时，当②是特解时，当002yy在整个平面上).2tan(2arctan)1(1).1)(1()1()1(;1).4(22222222CxxyCxxydxxyyyxyxydxdyxyyxdxdy解：.2coscos;;)2cos(cos).5(222yxdxdyyxdxdy解①当02cos2y时，.2sin22tan22sin41212tan21)2cos1(2122sec21cos2cos222CxxyCxxydxxyydxdxydy②当02cos2y时，为特解。422.02cosnynyy21)6(ydxdyx;解：①当012yx时，.lnarcsin,12Cxyxdxydy②当012yx时，为特解。或不是解，舍去1)(0yx,.0)(,)(22121)()(;).7(2222yxyxyxyyxeyCeexyCexeydxexdyeyeyexdxdy解：2．求解下列微分方程的初值问题：.212cos213sin3121sin31cos21.3sin312cos21;3)2(,03cos2sin).1(xyCCCyxyydyxdx故解为解：01)1(2212)1(,21211.2;1)0(,0).2(222yexyexCCCyexeydydxxedyyexdxydyyexdxxxxxxxx故解为又解：.2,2.Cln;2)0(,).3(erCCerrdrdryrddr故解为又解：..01ln3,110ln3.ln)1(;0)1(,1ln).4(3322xxxyyCCCxxxyydxxdyyyyxdxdy故解为又解：..312,232111211;1)0(,1).5(22222332xyCCCxyxxdxydyyxydxdyx故解为又解：3．求解下列微分方程。.sincos;;cos).1(Cxyxdxdyxdxdy解通解。特解若解为常数,00,ln)0(;);0(;).2(CCCeyCaxyyadxydyaaydxdyax.1),0(1C11111,1ln211ln21)11211;;1).3(222222yCeCeyCeyyCeyyCxyydxydyydydxydyydxdyxxxx外加特解（解.1.2,312311)0(01;);2,1,31(;).4(1321xnnnCeynnCxynCxyCxynydxydyynnydxdy时，当为特解；时，当解4．跟踪：设某A从xOy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点（0，b）开始跟踪A,即B与A永远保持等距b.试求B的光滑运动轨道。解：设B的运动轨迹)(xyy，则Cxybbybbbybybydxdy22222222ln2,解得.ln21,,)0(222222ybybbybbbxby得又（发散）。当瑕积分的解局部唯一，当且仅上的每一点，微分方程则在直线当且仅当）内连续，而且的某领域（例如，区间在其中设微分方程aayfdyayayyfayayyfxfdxdy)(,,0)()(),(.5解：用反证法“”显然。“”（反证法）：若解不唯一，则存在.)(,)()(0axaxxy且)()())(()()(11)()(11aaxfxdyfdyaaaa从而，由方程矛盾。习题2-31．求解微分方程：.)1()1()1()(2,)(:2).1(2222222xxxxxxxxxxdxxCeexyCexyeexdyeddxxeydxedyeeexxeydxdy乘方程两侧，得解：用积分因子..cos2coscoscossin2)cos(coscossin2cossincos1,cos1)(:2sin)2(22)(xxCyCxxyxdxxyddxxxxdxxxydyxxexxytgxdxdydxxtg乘方程两侧，得解：用积分因子.,)(sin2,0:1)(,sin2)3(22乘方程两侧，得用积分因子（一阶线性）。得时，两边除以解：xexxxyxdxdyxxyxydxdyxdxx.sincos0)1(11(sincossin)(2222xxxyxCCyCxxxyxxxdxyxd故）又)21(arcsin1121.2211)0()1(arcsin1121.2arcsin212arcsin211111(C.111)1()('111)(111111)(11)('C,11)(1111ln)1111(21ln111:1)0(,111).4(2212212222222221212221212121222xxxxxyCCyCxxxxxyCxxxCxxxxxCdxxxxxdxxxxxxxxCxxxxCxxxxxCxxxxxxCyxxCyCxxCdxxxyxdxydyyxdxdyyxyxdxdy故，又故，）即有，有令解：2。把系列微分方程化为线性微分方程：故有令解,2,.;;2).1(222ydyduyuyyxdxdy22221xudxduyuxdxdyy原式。.;;)..2(222yyxdxdxyyxdydxyxydxdyyxydxdy解.10313,3,.:;03).3(232223332xuxdxduxudxdyyxydyyduyuxydxdyxy原式故有令解.10313,cos,.sin;;tancos1).4(2322xuxdxduxudxdyyxyydydzyzyxydxdy原式故有令解.)()0()().0()(F0)()(F00)((0)(0)(,)().0(,)0()().0(,0)(')(.3000000000)0(()()()()()()()()(xxxxxxxxxdssadssadssadssadssadssadssadssadssaexxeFxxxexxedyedyxaedxdyexxexxyxayxy）即上为减函数，在由。有侧乘上，证明：在微分不等式两求证：满足微分方程不等式设5．考虑方程);()(xqyxpdxdy试求出此解。周期解，当且仅当则方程有唯一的若的平均值为周期，当且仅当函数则方程的任一非零解以若证为周期的连续函数。求都是以和其中,0,0)()2(0)(1)(,0)()1(:0)()(0pxqdxxppxpxqxqxp).(y(,0)(.0)0()()0()(y0()()()().0()()0()()(0)()(0)(0)(1)(0)(10)(0)(1)()(0,))(1(0000000000000)()()(000000)()()()()()()(xxyxlyylxtyxlxyxyyyCeCeCCedttpdttpdttpdttpdttp