第二章动力学基本定律

第二章动力学基本定律２０第二章动力学基本定律§2.1动量牛顿运动定律一、牛顿运动定律概述1、牛顿第一定律（1）定律内容任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。（2）定律意义a）引入了惯性的概论惯性——是物体保持其原有运动状态的一种属性。b）定性确定了力的概念力——是使物体的运动状态发生改变的原因。2、动量、牛顿第二定律（1）定律内容运动的变化与所加的动力成正比，且发生在该力所沿的直线上。（2）定律意义a）定量确定了力的概念。b）引入了质量的概念。质量——是物体惯性大小的量度。（3）定律的数学形式动量：vmPdtvmddtPdF)(若物体的质量与运动速度无关，则：amdtvdmFa）在直角坐标系下：yyyxxxmadtdvmFmadtdvmFb）在自然坐标系下：第二章动力学基本定律２１nnmavmFmadtdvmF23、牛顿第三定律当物体A以力1F作用在物体B上时，物体B必以力2F作用在物体A上，且1F与2F大小相等、方向相反，在同一直线上。二、力学中常见的力1、万有引力2211221/1067.6kgmNGrmmGF若忽略地球的自转，则地球表面附近的物体所受的万有引力叫重力。2RmMGmggmP2、弹力（1）正压力（支持力）（2）拉力（3）弹簧的弹力胡克定律kxf，k叫弹簧的倔强系数。3、摩擦力（1）滑动摩擦力kkkNf,——滑动摩擦系数。（2）静摩擦力sssNf,max——静摩擦系数。静摩擦力只能根据物体的平衡条件求出。三、自然界中的四种相互作用1、引力相互作用（万有引力）——是物体具有质量而产生的。2、电磁相互作（电磁力）——静止或运动电荷间的相互作用。3、强相互作用（强力）——亚原子间的相互作用。4、弱相互作用（弱力）——基本粒子间的相互作用。四、SI单位和量纲1、国际单位制（SI单位制）第二章动力学基本定律２２（1）基本量、基本单位SI单位制规定了七个物理量及二个辅助量为基本量，并规定了其单位，即基本单位。基本量名称符号单位力学单位长度L米（m）质量m千克（kg）时间t秒（s）电磁学单位电流强度I安培（A）热学单位热力学温度T开尔文（K）物质的量n摩尔（mol）光学单位发光强度IV坎德拉（cd）辅助单位平面角θ弧度（rad）球面角Ω球面度（st）（2）导出量、导出单位导出量——其它物理量的单位可根据一定的关系从基本单位导出。导出单位——导出量的单位是基本单位的组合。2、量纲（1）量纲导出单位对基本单位的依赖关系，称为该导出量的量纲。力学量A的量纲：ALMTα、β、γ叫量纲指数。例如：2FLMT（2）量纲法则只有相同量纲的量才能相等、相加、相减。五、惯性系与非惯性系1、牛顿定律与坐标系的选择【例1】如图示，小车相对地面作匀速运动地面观察者：弹簧未伸长，物体所受合外力为零，作匀速运动，牛顿定律成立。车上观察者：弹簧未伸长，物体所受合外力为零，处于静止状态，牛顿定律成立。【例2】如图示，小车相对地面作匀加速运动。第二章动力学基本定律２３地面观察者：弹簧伸长，物体所受合外力不为零，作加速度运动，F=ma牛顿定律成立。车上观察者：弹簧伸长，物体所受合外力不为零，处于静止状态，F≠ma牛顿定律不成立。2、惯性系与非惯性系惯性系：牛顿定律适用的坐标系称为惯性系。相对于惯性系作匀速度运动的参照系均为惯性系。非惯性系：相对于惯性系作加速度运动的参照系均为非惯性系。【例题1】将质量为m的小球用绳挂在倾角为的光滑斜面上。当用力使斜面体以加速度a向左方（如图a）运动时，求绳中的张力Ｔ和小球对斜面的正压力Ｎ。【解】所求Ｔ、Ｎ都与小球有关，故选小球为研究对象。图（ａ）中给出了斜面静止时小球的受力情况。Ｔ为绳中张力，Ｇ＝ｍｇ为重力，Ｎ′＝－Ｎ为来自斜面的正压力。当斜面体向左加速运动时，小球将随同斜面体一起加速运动，出现与Ｎ′方向相反的加速度分量。根据牛顿第二定律Ｔ＋Ｇ＋Ｎ′沿Ｎ′方向的分量方程sincosmamgNＮ′将随加速度ａ的增大而减小，直到减小至零与斜面脱离接触。因此，在题中未给出a的范围的情况下，小球有两种可能的受力情况，与此相应，应该建立两种不同的力学方程，得出两种不同的解答。(1)加速度a较小，小球还没有离开斜面根据图(b)所示的受力情况，由牛顿第二定律得:sincoscossinmamgNmamgT由此两式可以分别解出)sincos()cossin(agmNagmT且N=-N′,当N′=０时，由0sincosag可得gctga当0gctg时，小球就离开斜面了。由于受力情况已发生变化，0)sincos(agmN出现的负值，已经没有意义。(2)gctga，小球已经离开斜面第二章动力学基本定律２４图(c)0sincosmgTmaT由此解得agtgagT/,22【例题2】一根不可伸长的轻绳，无摩擦地跨过(轻)定滑轮。绳的一端挂有m＝１kg的重物，绳的另一端施一力F，当F＝９．８Ｎ时，系统处于平衡状态。如果从某一时刻开始，拉力按Ｆ＝９．８＋４t－２t２(SI)的规律作用，问当拉力变为9.8N时，重物的最大速度是多少?【解】这是一个已知变力求运动规律的问题。题设中的“轻绳”和“轻滑轮”，意指不计绳及滑轮的质量。重物m平移，可视为质点。以地面为参考系，取重物m为研究对象，受力分析如图,m受重力和向上拉力的作用，一般作加速运动。选取竖直向上为坐标轴Ox方向。不计绳及滑轮质量，则绳中张力处处相等，因而有)(tFT由牛顿第二定律(在Ox轴上的分量式)mamgtF)(得dtdvmmgtt)248.9(2分离变量并积分vmdvdtmgtt02])248.9[(得mvmgtttt223228.9由题意知，当F＝９．８Ｎ时系统平衡，即8.9248.92tttt＝０，t＝２s，t＝２s)/(67.2)3228.9(122smmgttttmv【例题3】光滑的桌面上放置一固定的圆环带，半径为R。一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动摩擦系数为μ。设在某一时刻物体经过A点时的速度为v0。求此后t时刻物体的速率和从A点开始所经过的路程。【解】物体受力：环带对它的压力N，方向指向圆心；摩擦力f，方向与运动方向相反，第二章动力学基本定律２５Nf(1)另外，在竖直方向受重力和水平桌面施给物体的支撑力，二者互相平衡，与运动无关设物体的质量m，由牛顿运动定律可得方程：切向mafRmvN/2联立(1)、(2)、(3)Rvat/2即Rvdtdv2RtvvvdtRvdvtvv/10000再对时间积分，且利用初始条件t＝０时，S)1ln(0tvRRS第二章动力学基本定律２６§2.2刚体定轴转动定律一、刚体所受的力矩力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。力矩的定义：FrM大小：rFdFrFMsin方向：由右手定则确定。单位：米.牛顿（m.N）二、刚体定轴定律设刚体内第i个质点的的质量为mi，到转轴的距离为ri，所受合外力为iF，其它质点对该质点的作用力为if。由牛顿第二定律iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiirmfrFrrmfrFramfFamfF)(22可证：iiifr0而：iiiFrM令：iiirmJ2，则：JM三、转动惯量定义：iiirmJ2单位：千克.米2（kg.m2）1、决定转动惯量的因素（1）刚体的质量（2）刚体的质量分布（3）转轴的位置2、转动惯量的计算dmrJ2线分布：,dxdm是质量线密度。第二章动力学基本定律２７面分布：,dxdm是质量面密度。体分布：,dxdm是质量体密度。【例题1】一轻绳跨过一定滑轮。滑轮可视为匀质圆盘，质量为m，半径为r绳的两端分别悬挂质量为m１和m２的物体，m１＜m２，如图所示。设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。【解】依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T２′＞T1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T１＝T1′，Ｔ２＝T２′。T１、T1′和T２、T２′都是绳中的张力。绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m１与m２有大小相同的加速度a，且都等于滑轮边缘的切向加速度。以m１向上、m２向下的实际运动方向和滑轮的顺时针转向为物体运动或转动的正方向，则按牛顿第二定律和转动定律可得)21(212222111mrMrTTamTgmamgmTr鉴于滑轮边缘的切向速度，也即物体的加速度a与滑轮角加速度β之间的关系，还可以建立一个辅助方程a＝rβ)()(2//)(22112112agmTagmTmmmrMgmmar【例题5】一刚体由长l、质量为m的匀质细杆和质量为m的小球固定其一端而组成，且可绕杆的另一端点的轴O在竖直平面内转动，如图所示。若轴处无摩擦，试求：(1)刚体绕轴的转动惯量；(2)当杆与竖直方向成θ角时的速度为多大?此时小球的法向加速度为多大?【解】(1)2223431mlmlmlJ(2)当刚体转动与竖直方向成θ角时，所受合外力矩为sin23sin21sinmglmgmglM第二章动力学基本定律２８lgmlmglJM8sin98sin92又因dddtddddtd所以ddmlg8sin9lgddmlg/cos238sin902/