第二章圆锥曲线教案曲线的交点教案

亿库教育网第二章圆锥曲线教案曲线的交点教案教学目标1．领会研究曲线间位置关系的方法及学会弦长的求法；2．初步学会解析法，培养学生一般解题能力，渗透分类讨论的思想；3．培养学生严谨的科学态度和积极探索的精神．教学重点与难点研究曲线与直线位置关系的解析方法为教学重点；弦长公式的推导为教学难点．教学过程一、复习并引入新课师：设直线l1和l2的方程分别是：A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，怎样通过方程来研究l1与l2的位置关系呢？生：从直线方程求出斜率；若斜率相等，则无交点；若斜率不相等则有交点．师：好！是一个好办法．但是，有局限性吗？生：有．当直线斜率不存在时，此方法不能用．师：可以改进吗？生：可以．如一条斜率存在，一条不存在，则相交；如都不存在，则平行．师：非常好．但似乎有两个小缺点，一是方法不统一；二是当判断出直线有交点时，还要再去求交点．那交点又怎样求呢？生：……(若学生答：“可解方程组”，则老师要顺水推舟，自然引出对“充要性”的谈话．)师：现在请大家考虑一下，直线上点的坐标与直线方程之间有怎样的关系？生：直线上点的坐标是方程的解；以方程的解为坐标的点在直线上．师：那两条直线的交点与两条直线的方程之间有什么关系？师：请大家更深一步地思考：方程组有唯一解是两直线有交点的什么条件？请说明理由．生：(略．)二、新课(一)直线与曲线的交点师：求两直线交点的方法能否推广到两曲线呢？大家讨论讨论．生：(回答略．主要从“曲线方程”的定义入手．)师：非常好，大家讨论得很热烈．根据大家的讨论，我想可以把大家的想法归结为3条，1．由曲线方程定义出发解释：两曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解；2．方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点；3．求曲线交点的代数法(或解析法)就是求它们的方程组成的方程组的实数解．下面看看具体问题：解(略．)(此例学生做．教师巡视，发现问题及时解决．)师：此题是求直线与抛物线的交点，其中直线y=3x-2是以“斜截式”表示的．请问直线经过哪个特殊点？生：经过点(0，-2)．师：好！大家对直线方程的掌握还不错，现在我把问题引申出来．亿库教育网生：从刚才例1可知，直线斜率为3时有两个交点．师：反应很快嘛！但是，我们是讨论所有经过(0，-2)点的直线．生：那就把经过点(0，-2)的直线方程表示出来，联立方程组，讨论方程组的实数解．师：怎样表示过点(0，-2)的直线？生：表示为“y=kx-2”，这是斜截式．情况．(演示电脑动画)师：看过演示后，大家是否受到启发？说说自己的想法．生1：直线与抛物线的交点个数可以是一个、两个或没有(即0个)．生2：图2-13，2-15，2-17都有一个交点．但是总感觉图2-15与图2-13，2-17还有些不一样．师：怎么不一样？我们再看看在这个运动过程中，点的运动特点．(再演示一遍)师：图2-15的一个交点与图2-13，2-17究竟有什么不一样呢？生：图2-13，2-17是两个交点重合为一个，图2-15是因为直线与抛物线的对称轴重合．师：好！交点个数的问题从图上是看出来了．那刚才大家指出的方法该如何修正呢？生：把过(0，-2)的直线表示为“y=kx-2”忽略了斜率不存在的情况．应分类讨论：1°当斜率存在时，设直线为y=kx-2，联立方程组，解之．2°当斜率不存在时，直线与x轴垂直，记为x=0．师：现在就请大家动手算一算，在什么条件下，过(0，-2)的直线与亿库教育网有唯一解(0，0)．即此时只有一个交点．解之得：k＞2或k＜-2时，有两个交点；k=±2时，有1个交点；-2＜k＜2时，无交点．例2已知某圆的方程是x2+y2=2，当b为何值时，直线y=x+b与圆相切，相交，相离？启发提问：师：用解析法解这题应解决什么问题？生：判定由两个方程构成的方程组解的个数．师：两直线相交，相切，相离用代数语言怎样说？生：方程组有两个不同解，有两个相同解，没有解．师：那么你打算怎样做？生：方程组由一个一次，一个二次方程构成，消元后成为一个一元二次方程，想用判别式！师：设想很好．但到底行不行，请动手．(解略．学生在解题过程中教师巡视，并及时纠正错误．)的解的个数及直线与圆的位置关系三者间建立了怎样的关系？生：(答略)(演示：电脑动画——直线与圆的位置关系)师：现在请大家把例1，例2在解法上的相同之处总结一下．生：例1，例2都是把直线方程与曲线方程联立成方程组，通过消元变成一元二次方程，再通过解方程或根的判别式来解决问题．师：这两题在结果上有什么相同与不同吗？生：相同之处：直线与抛物线，圆的交点，个数都是两个，一个，0个；亿库教育网不同之处：直线与抛物线交点为1个时，有可能是切点，即两个重合为一个；也有可能就只有一个交点(当直线与对称轴平行时)．(二)弦长公式的推导师：通过刚才的两个例题，大家基本掌握了求交点及交点个数的方法．现在我们来看看另一个与交点密切联系的问题——弦长问题．(从“圆的弦”引入介绍一下“曲线的弦”)师：请问，怎样求线段长？师：不求出交点是否可以求出弦长？所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16，(通过比较发现后一方法简捷，然后让大家动手做②③．)在解②③时，会有以下式子出现：②(y1-y2)2=(x1-x2)2×32；③(y1-y2)2＝(x1-x2)2×k2．总结①②③，并引导学生得出结论：师：若消元时消掉x，得到的是关于y的一元二次方程，求出的是(y1-y2)2．那么弦长公式又会是什么样？亿库教育网师：为什么？能否证明？(证略．)三、小结通过本节课我们看到，求曲线交点的问题，交点个数(或两曲线的位置关系)问题，以及求弦长的问题，都是通过研究方程组的解来解决问题．这就是解析几何的基本指导思想．四、布置作业：2．求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线的方程．设计思想在解析几何中，求“曲线交点”的问题，并非解析几何的重要问题．但是，有很多问题要通过“求交点”才能解决；也就是说，“求交点”是解决问题的一种工具．更重要地，“求交点”的问题中蕴含了解析几何的基本思想——通过研究方程或方程组的解的问题来解决几何问题．因此，本节课的“教学目标”和“教学重点”就定在了“研究曲线与直线位置关系的解决方法”这一点上．并且在教学过程中突出了“直线(曲线)方程——方程组——方程的解——曲线的交点”这样一个转化过程来突出解析几何的基本思想．在完成这一目标的过程中，注意了能力的培养．首先再说明的是，由于还未系统学习“圆锥曲线”，因此，在设计例题和选择曲线的过程中受到很多限制．但是，本节课的主要任务并不能因为曲线类型的限制而受到制约，所以，我们选择了在学习二次函数时见过的抛物线y=ax2+bx+c和同学们都非常熟悉的图．例1设计为求交点的题目，没有什么特别的地方，主要是让学生熟悉求交点的方法．但是在解题后把问题引申为：“过定点的直线与抛物线的交点”问题，以及例2的“平行直线系与图的交点问题”就把“求交点”的问题放在了“运动变化”的图形中．这样一来，就把“求交点”的问题提高了一个高度：一方面，再一次强调了解析几何的基本思想；另一方面，通过直线的运动变化，首先说明的是“直线与曲线位置关系”在变化，同时，“解的个数”也在变化，从而体现了“数形之间”的联系，也就是数形结合思想的体现．通过自制软件的演示增强了直观性；同时，通过演示“过定点的直线系与抛物线的交点”，还让学生发现自己在处理这一问题时的漏洞，从而需“分类讨论”．从而培养了学生的能力．至于“求弦长的公式”则是“求交点”问题的应用，主要是说明“求交点”是一种工具．为了让学生自己总结出求弦长公式，特意设计了3x2)2=(y1-y2)2；第2条，k=3，从而(y1-y2)2=(x1-x2)2×32；第3条，很自并进一步提问，“若先求出(y1-y2)2，弦长公式会是什么样？”学生很容同时，“求交点”的问题作为一种工具，还反映出解析几何中的一种技巧——设而不求，这在“弦长公式”中就是一种体现；而在以后解决有关“曲线的弦的中点轨迹问题”时，就常设出交点而不求．“曲线交点”这一课，重要在于它蕴含着解析几何的基本思想．本教案的设计力图体现这一思想，并通过学生的主动参与来体现教学过程中学生的主体作用，培养学生的能力．