第二章多面体与旋转体几何体求积复习

高中立体几何教案第二章多面体与旋转体几何体求积复习课教案教学目标1．使学生能熟练地掌握和运用简单多面体和旋转体的求积（面积和体积）公式；2．进一步培养学生研究空间问题的转化能力；3．要求学生在掌握好解多面体和旋转体问题基本方法的基础上，注意方程思想、割补思想和等积变换思想的指导作用，以期提高综合运算能力；4．通过对典型例题的分析，培养学生一题多解的发散性思维能力．教学重点和难点本节课的教学重点是突出元素度量关系的分析，加强综合运算的规律与方法的指导．教学难点是诱导学生分析几何体的空间结构，并根据题目中所给几何体的结构特点，去揭示元素之间的内在联系．教学设计过程一、复习讨论师：研究简单几何体的求积运算问题是立体几何第二章的中心议题，也是以后我们日常生活中经常要接触到的问题．今天，我们在复习旧知识的基础上，进一步总结运算规律，寻找解决问题的办法．（板书课题）师：请同学们一起来回忆多面体和旋转体的求积（侧面积和体积）公式．（放幻灯片，引导学生回忆，学生口答公式，最后给出正确答案．）（注：其中C，C＇及S，S＇分别为正棱台上、下底面周长和面积，h，h＇分别为多面体的高和斜高，r，r＇分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长，R为球的半径）师：为了能使用公式，我们还必须要先求出公式中所需的几何体基本元素的数值大小．那么，在柱、锥、台、球的性质中，哪些性质较多地集中了它们基本元素（如：侧棱、高、斜高、母线等）间的相互关系？（幻灯分别打出棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台和球的示意图，帮助同学们寻找和归纳．讨论后，再请几位同学上讲台，边指图边报告讨论结果）生甲：在棱柱中，可以通过侧面和过不相邻的两条侧棱的截面即为对角面来把棱柱中的基本元素纳入同一平面．生乙：在正棱锥中，有2个特征直角三角形起到了把锥体中的基本元素联系在一起的作用．它们是：由棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影所组成的直角三角形（如图Rt△SOD）；由棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成的直角三角形（如图Rt△SOA）．生丙：（补充）棱锥中，Rt△SAD和Rt△OAD也有一样的作用．生丁：因为棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到的，所以在正棱台中有3个特征直角梯形和1个直角三角形（如图：O1，O2为上、下底面中心，O1E⊥A1B1，O2F⊥AB，直角梯形有O1O2FE，O1O2AA1，A1EFA，直角三角形是△O2FA）生：在旋转体中是它们的轴截面．师：（归纳与讲评）刚才几位同学的发言都很好．无论是多面体，还是旋转体，它们的基本元素往往都集中在几个特征直角三角形、几个特征直角梯形、平行四边形和圆中，掌握了这一规律，我们在以后的解题过程中，只要抓住具体问题的特点，根据基本关系的分析，就可以把空间问题转化为解各个具体的三角形、梯形、平行四边形或圆了．二、课堂练习，例题分析例1（1）正四棱台的两个底面的边长分别为a和b（a＞b），侧棱和底面的夹角为2，则它的侧面积是______．（2）圆台上、下底面半径分别为r，R，平行于底面的截面把圆台分成侧面积相等的两个部分，则以此截面为底面，圆台所在的圆锥的顶点为顶点的圆锥与该圆台的体积比为______．（教学手段采用先练习，教师巡视，后讲评的方法）研究第（2）小题．师：我们还能否采用第（1）小题的方法“缺什么，求什么”吗？生：此题中的未知待求元素太多，根本没法直接求出其中的一个元素．师：那该怎么办？生：可以试一试设未知数，列方程求解．师：设什么？如何列方程？生：平行于底面的截面是个关键．我想设此截面半径为x．以r，x分别为上下底面圆半径的圆台的母线为l1，以r，R为上下底面圆半径的圆台的母线为l，先求出x．在圆台的轴截面中，做A2B⊥AO交A1O1于B1，那么△A2A1B1∽△A2AB，依题意可得师：大家可以看到这三道题都是对单个的多面体或旋转体的求积计算．下面，我们转入对比较复杂的由多面体和旋转体复合放置在一起的“组合体”的研究．例2一个正方体所有的顶点都在球面上，如果这个球的体积为V，求正方体的棱长．师：首先；我们怎样把这类问题转化为平面图形的计算？（同学们较少接触到此类问题，还需继续启发引导）师：在旋转体中它的主要元素的关系集中在轴截面中，球的主要元素在它的大圆中；而正方体的主要元素关系在各个侧面及对角面上，我们能否做一个截面，使得二者兼顾？师：过正方体一个面作截面行吗？生：（讨论）不行．因为这样截得的是球的小圆．师：由对称性可知，正方体的中心一定就是球的中心，要得大圆必须过球心作截面，过球心作一个平行于正方体一个面的截面行吗？生：（讨论）也不行，因为这样截得的正方体的截面四个顶点不在大圆上．师：我们希望截得的正方体的截面的顶点在大圆上，那么这个截面应是正方体的什么截面？生：对角面．师：好，这样正方体的截面是一个什么平面图形？生：矩形．师：球与正方体的基本元素间取得了什么联系？生：正方体的对角线，恰是球的直径．师：大家可以看到这三道题都是对单个的多面体或旋转体的求积计算．下面，我们转入对比较复杂的由多面体和旋转体复合放置在一起的“组合体”的研究．例2一个正方体所有的顶点都在球面上，如果这个球的体积为V，求正方体的棱长．师：首先；我们怎样把这类问题转化为平面图形的计算？（同学们较少接触到此类问题，还需继续启发引导）师：在旋转体中它的主要元素的关系集中在轴截面中，球的主要元素在它的大圆中；而正方体的主要元素关系在各个侧面及对角面上，我们能否做一个截面，使得二者兼顾？师：过正方体一个面作截面行吗？生：（讨论）不行．因为这样截得的是球的小圆．师：由对称性可知，正方体的中心一定就是球的中心，要得大圆必须过球心作截面，过球心作一个平行于正方体一个面的截面行吗？生：（讨论）也不行，因为这样截得的正方体的截面四个顶点不在大圆上．师：我们希望截得的正方体的截面的顶点在大圆上，那么这个截面应是正方体的什么截面？生：对角面．师：好，这样正方体的截面是一个什么平面图形？生：矩形．师：球与正方体的基本元素间取得了什么联系？生：正方体的对角线，恰是球的直径．已知球的体积为V，则如何消去中间量R是解题的关键．（请同学口述解答）三、小结我们通过对前几道例题的分析和讨论，已经总结得到了一些解题规律，它们是：（打幻灯）（1）解决多面体和旋转体的计算间题，可根据题目的具体特点，采用不同的方法，对于待求元素少的问题，可根据公式，采用“缺什么，找什么；要什么，求什么”的方法，抓住数量关系集中的平面，通过分析逐层求得，对于待求元素多的问题，可根据数量关系采用“设未知数、列方程”的方法．（2）对于多面体和旋转体复合放置的一类组合体的求积问题，关键要抓住“接”点与“切”点的位置，适当地选择截面．师：下面，请同学们继续开动脑筋，看看通过对例3的分析研究，还会给咱们带来一些什么新思路．例3已知：在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．四、作业1．一个圆台的母线长为5cm，两底面半径比为2∶5，侧面展开图的圆心角为216°．求这个圆台的侧面积和体积．（侧面积：35π；体积：52π）2．正四棱柱的对角线长为9，全面积为144．求它的底面边长和侧棱长．（底面边长为4，侧棱长为7；底面边长为6，侧棱长为3）3．长方体一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上．求这个球的表面积．（50π）4．四面体S－ABC中，M，N，P，Q分别为棱SB，SC，AC，AB的中点．（1）求证：M，N，P，Q四点共面；（2）求平面MNPQ把四面体分成的两部分的体积比．（1∶1）5．已知斜三棱柱的一个侧面积为S，此侧面与相对侧棱间的距离为a．求斜三棱柱的体积．课堂教学设计说明几何体的求积（面积和体积）问题，是历年高考中的重点考查内容之一．而学生对这一章知识的认识经常只停留在简单代公式计算的程度上．所以，他们往往忽视对几何体空间结构的认真分析，缺乏总结综合运算规律的学习环节，这样就达不到借助对具体几何体的研究来进一步培养学生空间想象能力的目的了．因此，教师应及时指导学生分析几何体的结构特点，帮助学生总结运算方法．这节课的目的就在于①巩固学生已有的求积运算方法“缺什么，找什么，要什么，求什么”（抓问题基本元素间关系）；②诱导学生自己发现当要研究的问题中未知量及其数量关系较多时，可以利用方程的思想求解（提供学生一种常用的解题思维方法）；③培养学生解决问题的应变能力——割补法与等积变换法在求积中的运用．这三点正是我安排的几个例题各想达到的目的．另外，例2要求学生认真分析组合体的结构特点．这节课应放在复习完基本概念之后再使用．补充说明近年来，求积问题的高考试题主要考查三个方面内容，一类是求几何体的侧面积、全面积和体积；一类是已知几何体的面积或体积求它的高、斜高、半径等，还有一类是求几何体的面积或体积的最值问题，针对高一学生的能力情况，应由易到难，不易一步到位．建议这个课题的复习课再安排1～2节．