第二章小结

第二章随机变量及其分布第一节随机变量的概念一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1.在有些随机试验中,试验的结果本身就由数量来表示.2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义设随机试验的样本空间为S,称定义在样本空间S上的实值单值函数)(eXX为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1)它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2)因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同,通常分为离散型和非离散型两类.而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.第二节离散型随机变量及其分布函数一、离散型随机变量及其概率分布定义设离散型随机变量X的所有可能取值为),2,1(ixi,称,2,1,}{ipxXPii为X的概率分布或分布律,也称概率函数.常用表格形式来表示X的概率分布:ninppppxxxX2121二、常用离散分布退化分布两点分布n个点上的均匀分布二项分布几何分布超几何分布泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.三、二项分布的泊松近似定理1(泊松定理)在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为np(注意这与试验的次数n有关),如果n时,nnp(0为常数),则对任意给定的k,有ekpnkbknn!),,(lim.第三节随机变量的分布函数一.随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量,称)()()(xxXPxF为X的分布函数.有时记作)(~xFX或)(xFX.分布函数的性质1.单调非减.若21xx,则)()(21xFxF；2.;1)(lim)(,0)(lim)(xFFxFFxx3.右连续性.即).()(lim00xFxFxx二、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X的概率分布为ninppppxxxX2121则X的分布函数为xxixxiiipxXPxXPxF)()()(.第四节连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量X的分布函数)(xF,存在非负可积函数)(xf,使得对于任意实数x有.)(}{)(xdttfxXPxF则称X为连续型随机变量,称)(xf为X的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.关于概率密度的说明1.对一个连续型随机变量X,若已知其密度函数)(xf,则根据定义,可求得其分布函数)(xF,同时,还可求得X的取值落在任意区间],(ba上的概率:badxxfaFbFbXaP)()()(}{2.连续型随机变量X取任一指定值)(Raa的概率为0.3.若)(xf在点x处连续,则)()(xfxF(1)二、常用连续型分布均匀分布定义若连续型随机变量X的概率密度为其它,0,1)(bxaabxf则称X在区间),(ba上服从均匀分布,记为),(~baUX.指数分布定义若随机变量X的概率密度为0.,0,0,)(其它xexfx则称X服从参数为的指数分布.简记为).(~eX正态分布定义若随机变量X的概率密度为.,21)(222)(xexfx其中和)0(都是常数,则称X服从参数为和2的正态分布.记为).,(~2NX注:正态分布是概率论中最重要的连续型分布,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声、农作物的产量等等,都服从或近似服从正态分布.标准正态分布正态分布当1,0时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用)(x和)(x表示:,21)(22xexxtdtex2221)(标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理设),,(~2NX则).1,0(~NXY标准正态分布表的使用：（1）表中给出了0x时)(x的数值,当0x时,利用正态分布的对称性,易见有);(1)(xx（2）若),1,0(~NX则);()(}{abbXaP（3）若),(~2NX,则),1,0(~NXY故X的分布函数;}{)(xxXPxXPxFbYaPbXaP}{.ab第五节随机变量函数的分布一、随机变量的函数定义如果存在一个函数)(Xg,使得随机变量YX,满足:)(XgY,则称随机变量Y是随机变量X的函数.注:在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时,主要研究函数关系的确定性特征,例如:导数、积分等.而在概率论中,我们主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律.一般地,对任意区间I,令})(|{IxgxC,则},{})({}{CXIxgIY}.{})({}{CXPIxgPIYP注:随机变量Y与X的函数关系确定,为从X的分布出发导出Y的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为,2,1,}{ipxXPii易见,X的函数)(XgY显然还是离散型随机变量.如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布?其一般方法是：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值,然后对Y的每一个可能取值,,2,1,iyi确定相应的},)(|{ijjiyxgxC于是},{})({}{iiiiCXyxgyY.}{}{}{ijCxjiixXPCXPyYP从而求得Y的概率分布.三、连续型随机变量函数的分布一般地,连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数,而且还希望求出其概率密度函数.设已知X的分布函数)(xFX或概率密度函数)(xfX,则随机变量函数)(XgY的分布函数可按如下方法求得:}.{})({}{)(yYCXPyXgPyYPyF其中}.)(|{yxgxCy而}{yCXP常常可由X的分布函数)(xFX来表达或用其概率密度函数)(xfX的积分来表达:yCXydxxfCXP)(}{进而可通过Y的分布函数)(xFY,求出Y的密度函数.定理1设随机变量X具有概率密度),(),(xxfX,又设)(xgy处处可导且恒有0)(xg(或恒有0)(xg),则)(XgY是一个连续型随机变量,其概率密度为其它,0|,)(|)([)(yyhyhfyfY其中)(yhx是)(xgy的反函数,且)).(),(max()),(),(min(gggg