第二章数列单元测试2(人教A版必修5)

第二章数列单元测试2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是()A．0B．1C．2D．0或2[答案]A[解析]由条件b2＝ac，Δ＝b2－4ac＝－3b20(∵b≠0)．2．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为26，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是()A．3B．4C．5D．6[答案]A[解析]由题意，S偶－S奇＝5d，∴d＝－2.2，S10＝10a5＋a62＝5(a5＋a6)＝5(2a6＋2.2)＝41，∴a6＝3.3．(2010·江西文，7)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5a2，则an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n[答案]A[解析]∵|a1|＝1，∴a1＝1或－1，∵a5＝－8a2＝a2q3，a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2，又a5a2，∴a2q3a2，∴a20，∵a2＝a1q0，∴a10，∴a1＝1，∴an＝(－2)n－1.4．已知数列{an}的通项公式an＝3n－50，则前n项和Sn的最小值为()A．－784B．－392C．－389D．－368[答案]B[解析]由3n－50≥0及n∈N*知n≥17，∴n≤16时，an0，a170，∴S16最小，S16＝16a1＋16×152d＝16×(－47)＋120×3＝－392.5．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，Cn＝an＋bn，若数列{Cn}是1,1,2，…，则{Cn}的前10项之和为()A．978B．557C．476D．非上述答案[答案]A[解析]C1＝a1＋b1＝1，b1＝0，∴a1＝1，a2＝q，a3＝q2，b2＝d，b3＝2d.由C2＝a2＋b2＝1，C3＝a3＋b3＝2得，q＋d＝1q2＋2d＝2，解得q＝2，d＝－1，∴{an}前10项的和为：1·210－12－1＝210－1，{bn}前10项的和为10×0＋10×92×(－1)＝－45，∴{Cn}前10项的和为210－1－45＝978.6．{an}是公差为－2的等差数列，若a3＋a6＋a9＋…＋a99＝－82，则a1＋a4＋a7＋…＋a97等于()A．150B．－82C．50D．－50[答案]C[解析]a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋66d＝－82，又d＝－2，∴a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50.7．有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余的钢管有()A．9根B．10根C．19根D．20根[答案]B[解析]由nn＋12≤200，及n∈N*知n≤19.又200－19×19＋12＝10.∴剩余钢管有10根．8．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－12，用Mn表示它的前n项之积，即Mn＝a1·a2·a3…an，则数列{Mn}中的最大项是()A．M11B．M10C．M9D．M8[答案]C[解析]由题设an＝512·(－12)n－1.∴Mn＝a1·a2·a3…an＝[512×(－12)0]×[512×(－12)1]×[512×(－12)2]×…×[512×(－12)n－1]＝512n×(－12)1＋2＋3＋…＋(n－1)＝512n×(－12)nn－12＝(－1)nn－12·2n19－n2由于当n＝9或10时，2n19－n2取最大值．而n＝9时，(－1)nn－12＝1，n＝10时，(－1)nn－12＝－1，∴M9最大．[点评]此题若直接用列举法可很简明求解：a1＝512，a2＝－256，a3＝128，a4＝－64，a5＝32，a6＝－16，a7＝8，a8＝－4，a9＝2，a10＝－1，当n≥11时，|an|1，又M90，M100，∴M9最大．9．等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项的和为()A．54B．64C．6623D．6023[答案]D[解析]Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，∴(60－54)2＝54×(S3n－60)，∴S3n＝6023.10．(2011·四川资阳模拟)数列{an}的通项公式为an＝2n－49，当该数列的前n项和Sn达到最小时，n等于()A．24B．25C．26D．27[答案]A[解析]解法1：a1＝－47，d＝2，∴Sn＝－47n＋nn－12×2＝n2－48n＝(n－24)2－576，故选A.解法2：由an＝2n－49≤0得n≤24.5，∵n∈Z，∴n≤24，故选A.11．一个等比数列前n项的和为S，前n项的倒数和为T，则其前n项的积是()A．(ST)n2B．(ST)n－2C．(ST)n2D．(ST)n[答案]C[分析]可用求和公式分q＝1与q≠1讨论．作为选择题用检验法解：[解析]取常数列，an＝a(a≠0)，则S＝na，T＝na，a1a2…an＝an，可知C成立．12．(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D.15[答案]A[分析]根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．[解析]由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，∴log13(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则a3＋a5a4＋a6＝__________.[答案]5－12[解析]∵a3，a5，a6成等差，∴2a5＝a3＋a6，即2q2＝1＋q3，∴(q－1)(q2－q－1)＝0，∵q≠1，∴q2－q－1＝0，∴q＝1±52，又q0，∴q＝1＋52，∴a3＋a5a4＋a6＝1q＝5－12.14．(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________.acb612[答案]22[解析]由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q＝2，∴b＝2×2＝4由横行等差知c下边为4＋62＝5，故c＝5×2＝10，由纵列公比为2知a＝1×23＝8，∴a＋b＋c＝22.15．(2009·全国Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则S9S5＝________.[答案]9[解析]解法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝5a3，∴a1＋4d＝5(a1＋2d)，∴a1＝－32d，∴S9S5＝9a1＋12×9×8×d5a1＋12×5×4×d＝－272d＋36d－152d＋10d＝452d52d＝9.解法二：S9S5＝9a1＋a925a1＋a52＝9×2a525×2a32＝9a55a3，∵a5＝5a3，∴S9S5＝9a55a3＝9.16．(2011·辽宁省鞍山市高二期中)若各项均为正数的等比数列{an}满足a2＝2a3－3a1，则公比q＝________.[答案]32[解析]∵a2＝2a3－3a1，∴q＝2q2－3，即2q2－q－3＝0，∵an0，∴q0，∴q＝32.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.(1)求d和q.(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立，若存在求之，若不存在说明理由．[解析](1)a2＝1＋d＝b2＝q，a6＝1＋5d＝b3＝q2，∴q＝4，d＝3.(2)假设存在常数a、b满足等式，由an＝1＋(n－1)d＝3n－2，bn＝qn－1＝4n－1及an＝logabn＋b得(3－loga4)n＋loga4－b－2＝0∵n∈N*，∴3－loga4＝0loga4－b－2＝0，∴a＝34，b＝1，故存在．18．(本题满分12分)设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，且其中数值最大的项是54，前2n项和为6560，求此数列的通项．[解析]∵Sn＝80，S2n＝Sn(1＋qn)＝6560∴1＋qn＝82，∴qn＝81，∵n∈N*，∴|q|1.(1)若q1，则an＝54＝a1qn－1∴81a1＝54q，∴a1＝23q.又Sn＝a11－qn1－q＝80∴a11－q＝－1，∴a1＝q－1，∴a1＝2q＝3.从而an＝2×3n－1.(2)若q－1，当n为奇数时，an最大，an＝54同上可得a1＝23q0，与a10矛盾；当n为偶数时，an－1最大．∴an－1＝a1qn－2＝54，∴a1qn＝54q2，∴a1＝23q20，由Sn＝80得a1＝q－10矛盾．综上知an＝2×3n－1.19．(本题满分12分)在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(1≤n≤30，n∈N*)的关系如图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数；(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失．试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由．[解析](1)由题意57－2m－1＝5解得：m＝12.f(n)＝5n－31≤n≤12，n∈N*，93－3n12n≤30，n∈N*.前m天的销售总数Sm＝S12＝122＋572＝354.(2)∵S12＝354400，∴前12天不流行．∵S13＝354＋f(13)＝408，且f(21)＝30，f(22)＝27.∴从第13天到第21天，服装销售总数超过400件，日销售量不低于30件，∴该服装在社会上流行不会超过10天．20．(本题满分12分)已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和．[解析](1)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，a1＝2.解得：d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.(2)令Sn＝b1＋b2＋…＋bn，其中bn＝2nxn，则Sn＝2x＋4x2＋…＋(2n－2)xn－1＋2nxn.①当x＝0时，Sn＝0.当x＝1时，Sn＝n(n＋1)．当x≠0且x≠1时，xSn＝2x2＋4x3＋…＋(2n－2)xn＋2nxn＋1②①－②得：(1－x)Sn＝2(x＋x2＋…＋xn)－2nxn＋1.∴Sn＝2x1－xn1－x2－2nxn＋11－x.21．(2009·全国Ⅰ)(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}，{bn}的通项公式．[解析]解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.由a3＋b3＝17得1＋2d＋3q2＝17，①由T3－S3＝12得q2＋q－d＝4.②由①、②及q0解得q＝2，d＝2.故所求的通项公式为an＝2n－1，bn＝3×2n－1.22．(本题满分14分)已知正项数列{an}的