第二章数学史上的三次危机

第二章数学史上的三次危机13第二章数学史上的三次危机第一节数学发展简史一、数学史的研究对象数学史的研究对象是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。简言之，数学史研究数学发展的过程及规律。二、数学发展史的四个阶段1、数学形成时期（公元前6世纪以前）2、常量数学时期（公元前6世纪——公元17世纪）常量数学时期也称初等数学时期。3、变量数学时期（公元17世纪——19世纪）变量数学时期也称近代数学时期。第三个时期的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等已成为高等学校数学教育的主要内容。4、现代数学时期（公元19世纪70年代——）现代数学时期的结果，部分地成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被工作者所使用。第二节数学史上的三次危机、一、第一次数学危机无理数2的发现毕达哥拉斯学派对数学最重要的贡献之一是发现了毕达哥拉斯定理（在中国被称为勾股定理或商高定理），即：直角三角形斜边长度的平方等于二直角边长度的平方和。而我国古代《周髀算经》卷上记载西周开国时期（公元前11世纪）商高答周公问时提到“勾广三，股修四、经隅五”，这是勾股定量的特例。三国时期的赵爽，他在《周髀算经注》中，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“割补”方法，证明了勾股定理。毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（Everythingisnumber）。这样，错误结论就是，任意两条线段都是可公度的，也就是说，对任意给定的两条线段，都可以找到第三条线段，以它为单位线段能将给定的那两条线段划分为整数份。反例就是：在等腰直角三角形中，两直角边1ba，斜边为c，由于2222bac，那么2c。c是一个实实在在的线段长，但它能不能表示成整数的比呢？若它可表示为两个整数的比，不妨设c(，是互素的整数)，则有c，22222c。即，为偶数。不妨设2，于是2224，即222。于是，也是偶数。所以，，均为偶数，这与它们互素的最初假设矛盾。也就是说，c不能表示成两个整数的比，或者说2是不可公度的。这样就出现了不同于“万物皆数”结论的危机。约公元前500年发现2之后，人们又陆续发现了许多其它的无理数。最终危机的解决办法是，无理数与数系的扩张。第二章数学史上的三次危机14二、第二次数学危机1、危机的产生和发展牛顿（IssacNewton,1642-1727）和莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）发明微积分。但无法给出“无穷小量”明确的解释，这样，微积分理论在逻辑上的明显缺陷，这标志着第二次数学危机的产生。2、危机的解决19世纪70年代，“数学分析之父”维尔斯特拉斯给出了无穷小量的严格定义：设函数0)(xxf在点的某一去心邻域内有定义.对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式00xx时,对应的函数值)(xf都满足不等式)(xf,那么称0)(xxxf为当时的无穷小量，记作)(0)(0)(lim00xxxfxfxx当或.三、第三次数学危机1、集合论19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。2、罗素的“集合论悖论”引发危机罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。4．危机的消除为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则。悖论消除了。但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。四、三次数学危机与“无穷”的联系第一次数学危机是无理数2的发现，其要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数。第二次数学危机是无穷小量的解释，其要害是极限理论的逻辑基础不完善，即还没有给出极限的概念。第三次数学危机是认为集合论是一切数学的基础，其要害是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。