第二章时域离散信号和系统的频域分析要点

一、教学目的和要求掌握序列的傅里叶变换和变换性质；掌握离散系统的系统函数、系统的频率响应。理解序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系；教学难点和重点教学重点：序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系；序列的傅里叶变换；离散系统的系统函数、系统的频率响应。教学难点：傅里叶变换的性质；Z变换的性质；频率响应函数和系统函数；系统函数的极点分布与系统性能。二学习要点数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。三种变换互有联系，但又不同：表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。Z变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域都进行了离散化这是它的优点。但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义以及存在条件。（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。（5）Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。（6）系统的传输函数和系统函数的求解。（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。三、习题（一）、判断：1、若某一序列绝对可和，则其傅里叶变换肯定存在。（√）2、序列的傅里叶变换是以2为周期的。（√）3、序列的傅里叶变换具有隐含周期特性。（Χ）4、实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质。（√）5、实序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质。（Χ）6、周期序列的傅里叶级数也是周期的，且和序列具有相同的周期。（√）7、周期序列因为不满足绝对可和的条件，所以其傅里叶变换不存在。（Χ）8、在数字频率和模拟频率的关系中，模拟折叠频率对应数字频率2。（Χ）9、在数字频率和模拟频率的关系中，模拟折叠频率对应数字频率。（√）10、如果离散系统是因果稳定的，则极点均在单位圆内。（√）11、圆点处的零极点不会影响系统的幅频特性。（√）12、一般系统的零点影响峰值，极点影响谷点，因此可以通过改变零极点的位置来改变系统的幅频特性。（Χ）13、系统函数的零极点决定了该系统的幅频特性。（√）14、最小相位系统是可逆的。（√）15、最小相位系统的零极点均在单位园内。（√）（二）、选择1、有限长序列的傅立叶变换具有（C）：A.离散性B.谐波性C.周期性D.收敛性2、关于共轭反对称序列，下列说法正确的是（B）：A.实部是偶函数，虚部是奇函数B.实部是奇函数，虚部是偶函数C.实部和虚部均是偶函数D.实部和虚部均是奇函数3、Parseval定理说明（B）：A.信号时域总能量大于频域总能量B.信号时域总能量等于频域总能量C.信号时域总能量小于频域总能量D.以上说法均不对4、若序列x(n)是模拟信号x(t)采样的结果（采样间隔T），则其傅氏变换是模拟信号的傅氏变换以（C）为周期作周期延拓：A.T/4B.T/3C.T/2D.T/5、设x(n)为因果序列，且X(z)=ZT[x(n)]=3z/(5z-1),则x(0)=(D):A.0B.1C.2D.3/56、若系统函数的收敛域是某圆外区域，则该系统肯定是（A）：A.因果系统B.非因果系统C.稳定系统D.非稳定系统7、关于序列Z变换和傅氏变换，下列说法正确的是（A）：A.单位圆上的Z变换即为傅氏变换B.任何序列的傅氏变换都是存在的C.Z变换存在，则傅氏变换存在D.二者之间无关系8、关于零极点，下列说法正确的是（B）：A.零点位置主要影响系统频响的峰值特性B.极点位置主要影响系统频响的峰值位置及尖锐程度C.极点位置主要影响系统频响的谷点位置及形状D.零极点对系统频响无任何影响9、有限长序列频谱的特点是（C）：A.离散性B.谐波性C.周期性D.收敛性10、双边序列Z变换的收敛域为：（C）：A.圆外区域B.圆内区域C.圆环D.整个平面11、若系统函数的收敛域是某圆内区域，则该系统肯定是（B）：A.因果系统B.非因果系统C.稳定系统D.非稳定系统12、对离散信号，一般不作（C）运算：A.平移B.反折C.尺度变换D.差分运算13、模拟频率和数字频率有确定的对应关系，折叠频率对应的数字频率为（B）：A.2B.C.2/D.4/14、因果序列Z变换的收敛域为：（A）：A.圆外区域B.圆内区域C.圆环D.整个平面15、若某序列Z变换的收敛域包含单位圆，则其傅氏变换（A）：A.一定存在B.一定不存在C.不一定存在D.以上说法都不对16、以下给出的数字频率，频率最低的是（A）：A.2B.C.2/D.4/17、用脉冲相应不变法设计的数字滤波器可能在（B）处存在频谱混叠：A.2B.C.2/D.4/18、若系统的零点在单位圆外，极点在单位圆内，则该系统为（B）A．最小相位系统B．最大相位系统C．混合系统D．可逆系统19、若系统的零极点均在单位圆内，则该系统为（A）A．最小相位系统B．最大相位系统C．混合系统D．不可逆系统20、若4z,4z3z3-z2zX(z)，则x(n)（A）A．)n(u)433(2nnB．)n(u)433(2-nnC．)1-n(u)433(2nnD．)n(u)433(2-n-n21、因果系统的时域条件是（C）A．h(n)B．n)n(hC．0n0,h(n)D．0n0,h(n)（三）：填空题1、傅里叶变换是频率的周期函数，周期是（2）。2、*()()(),()eeeexnxnxnxn如果序列满足则称为（）序列。答案：共轭对称3、*()()(),()ooooxnxnxnxn如果序列满足则称为（）序列。答案：共轭反对称4、共轭对称序列的实部是（偶）函数，虚部是（奇）函数。5、共轭反对称序列的实部是（奇）函数，虚部是（偶）函数。6、0()[()],[()]jXeFTxnFTxnn设那么（0()jnjeXe）。7、112212()[()],()[()],[()()]()jjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxn设那么。答案：12()()jjaXebXe8、()()()()()jynxnhnYe设则。答案：()()jjXeHe9、[()](),[()]()jFTxnXeFTxn已知则。答案：()jXe10、*[()](),[()]()jFTxnXeFTxn已知则。答案：*()jXe11、[()]()FTn答：112、Z变换存在的条件是（()nnxnz）。13、使()nnxnz成立，Z变量取值的域称为（收敛域）。14、单位圆上的Z变换就是序列的（傅里叶变换）。15、[()](),Zun其收敛域为（）。答：111(),1ZXZz16、[()]Zn（），其收敛域为().答：1，整个Z平面17、[()](),nZaun其收敛域为（）。答：111azza、18、0()[()][()](),xxXZZTxnRzRZTxnn设则收敛域为（）。答：0()nxxzXzRzR、19、()xn设是因果序列，X(z)=ZT[x(n)],则x(0)=()。答：lim()zXZ20、设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列的响应输出称为（系统的单位脉冲响应h(n)）。21、jH(e)为系统的传输函数，它表征系统的（）特性。答：频率响应22、若系统函数H(z)的所有极点均在单位圆内，则该系统为（因果稳定）系统。23、()1jHe若则该滤波器称为（）。答案：全通滤波器24、X(K)是x(n)的Z变换在（单位圆）上的N点等间隔采样。25、X(K)是x(n)的傅里叶变换在（[0，2]）上的N点等间隔采样。（四）、计算题1、0[()]FTxnn求，解：j00FT[()]()ennxnnxnn，令n′=n－n0,即n=n′+n0，则00j()jj0FT[()]()e(e)nnnnxnnxneX2、()]n*求FT[x，解：jjjFT[()]()e()e(e)nnnnxnxnxnX3、FT[()]xn求，解：jFT[()]()ennxnxn，令n′=－n，则jjFT[()]()e(e)nnxnxnX4、FT[()]nxn求解：因为jj(e)()ennXxn，对该式两边ω求导，得到d(e)j()ejFT[()]djjnnXnxnnxn，因此：jd(e)FT[()]jdXnxn5、已知：6、[(3)]FTn求0j01,||(e)0,||πX解：jjj31(e)δ(3)eennXn求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。解：00j0sin1()ed2ππnnxnn7、1122[(1)()(1)]FTnnn计算：8、[()]01nFTauna计算：其中解：1122j1122jjjj[(1)()(1)][(1)()(1)]e11e1e2211(ee)21cosnnFTnnnnnn解：jj0j[()]()ee11ennnnnnnFTaunaunaa9、设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。解：e441()(()())2xnRnRno441()(()())2xnRnRn10、设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。2()()()()[δ()δ(2)]()2(2)nnnynhnxnaunnnaunaun解：（1）jjj2(e)[δ()2δ(2)]e12ennXnn（2）jjjj01(e)()ee1ennnnnnHaunaaj2jjjj12e(e)(e)(e)1eYHXa11、[2()]nZTun求：解：11011ZT[2()]2()2122nnnnnnnununzzzz12、ZT[2