第二章有理数的复习

1第二章有理数的复习第一节比0小的数知识点：1、正数与负数的意义（理解）注意：0既不是正数也不是负数2、相反意义的量（理解）如：零上与零下，前进与后退，收入与支出等3、有理数的有关概念：（重点；掌握）①有理数：整数与分数统称为有理数②整数：正整数、负整数与0统称为整数③分数：正分数、负分数统称为分数4、有理数的分类（重点；掌握）①按整数、分数的关系分类正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数②按正数、负数与0的关系分类正整数正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数说明：正有理数和0称为非负有理数；正整数与0称为非负整数等。5、数集（理解）把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集说明：所有的有理数组成的数集叫做有理数集；所有的整数组成的数集叫做整数集；所有的正数组成的集合叫做正数集等。第二节数轴知识点1、数轴的概念（重点，掌握）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。2说明：①数轴是一条直线，可以向两边无限延伸。②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。③原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的制定都是根据实际需要而定的。一般取向右的方向为正方向，单位长度可根据具体情况而定，可长些也可短些，可以一个长度单位表示2，或者10，100甚至更大，但同一数轴上的单位长度要一致。2、数轴的画法（重点，理解）①画一条水平直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用这点表示0；③确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为长度单位，从原点向右，每隔一个单位取一点，依次表示为1，2，……，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，……。3、数轴上的点与有理数之间的关系（重点，理解）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。注意：数轴上的点表示的数不一定都是有理数的。4、利用数轴比较有理数的大小（重点，运用）①数轴上，右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。注意：可用a＞0，表示a是正数；反之知道a是正数，可用a＞0表示。同理，可用a＜0，表示a是负数；反之知道a是负数，可用a＜0表示。第三节绝对值与相反数1、绝对值的概念（重点，掌握）①绝对值的几何定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作︱a︱.②绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。用式子可以表示为：3(0)0(0)(0)aaaaa||=2、相反数的概念（重点，掌握）①相反数的几何定义：在数轴上分别在原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。②相反数的代数定义：符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数。其中一个是另一个的相反数。0的相反数是0。3、相反数的表示方法（灵活运用）一般地，数a的相反数是a，这里a是任意的有理数，可以是正数、负数或零，a还可以代表任意一个代数式。因此，当a＞0时，a＜0.（正数的相反数是负数）当a＜0时，a＞0.（负数的相反数是正数）当a=0时，a=0.（0的相反数是0）4、多重符号的化简（难点，掌握）在确定一个数前面的符号时，看这个数前面负号的个数，若符号个数为奇数个时，结果为负；若符号个数为偶数个时，结果为正。5、绝对值的非负性（关键，灵活运用）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取任何有理数，都有︱a︱≥0.6、绝对值的求法（关键，灵活运用）先判断这个数是正数、负数还是0，根据绝对值的代数意义（也就是一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零）确定去掉绝对值符号后的结果是它本身还是它的相反数，从而求出该数的绝对值。7、利用绝对值比较大小（难点，掌握）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。说明：因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤：①先分别求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。4第四节有理数的运算知识点一、有理数的加法与减法1、有理数的加法法则（重点，灵活运用）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与0相加，仍得这个数。说明：①进行有理数加法运算时，首先要判断两个加数的符号，确定运用哪一条法则；②在应用法则的过程中，一定要牢记“先定符号，后定值”。③异号两数相加，绝对值不等时和为0，也就是互为相反数的两个数相加等于02、有理数的加法运算律（重点，掌握）加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)运用运算律通常有以下规律：①互为相反数的两数可以先相加；②符号相同的数可以先相加；③分母相同的数可以先相加；④几个数相加可以得到整数的可以先相加。3、日温差（了解）：每天的最高气温与最低气温的差叫做日温差。4、有理数的减法法则（重点，灵活运用）：减去一个数，等于加上这个数的相反数。5、有理数的减法运算（难点，掌握）掌握有理数的减法的关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算。二、有理数的乘法与除法1、有理数的乘法法则（重点，灵活运用）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得0.注意：①掌握乘法法则的关键是会确定积的符号“两数相乘，同号得正，异号得负”②当乘数中有负数时，必须加括号，如5与8的积，应写成5×（8），第一个因数有负号时，可省略括号，第二个因数开始出现负号则要加上括号。2、有理数的乘法运算律（重点，运用）乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a()bc乘法分配律：a(b+c)=abac注意：①乘法分配律使用时要注意每个数都分配到。②乘法分配律可以推5广到三个以上的有理数。③乘法分配律还可以逆向使用，即a=a(b+c)bac3、多个有理数相乘的符号法则（难点，运用）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数个数有偶数个时，积为正。几个数相乘，其中有一个因数为0，积就为0.4、倒数的概念（关键，掌握）①定义：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个是另一个的倒数。②倒数的求法：当a≠0时，a的倒数是1a。③倒数等于它本身的数是15、有理数的除法法则（重点，灵活运用）①有理数的除法法则（化除为乘的法则）：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。②有理数的除法法则（直接相除法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0.三、有理数的乘方1、乘方的意义（关键）：求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂。一般的，用an的形式表示，a叫做底数，n叫做指数，an叫做幂，读作“a的n次方”或者“a的n次幂”2、乘方的书写（重点，掌握）当底数是分数或者整数时，一律用括号括起来，否则一律理解为底数是整数或分数，如31()3底数是13，而313的底数是1。52的底数是2，5(2)的底数是23、有理数的乘方运算（重点，掌握）：乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算，是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果。4、乘方运算的性质（重点，灵活运用）正数的任何次幂都是正数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。注意：任何数的偶次幂都是非负数。1的任何次幂都是1，0的任何次幂都是0.1的偶次幂是1，1的奇次幂是1。5、科学记数法（重点，掌握）①定义：一般地，一个大于10的数可以写成a10n的形式，其中1≤a＜10，6n是正整数，这种记数法叫做科学记数法。②写出科学记数法表示的原数（难点，掌握）：原数的整数位数等于n+1，原数等于把a的小数点向右移动n位所得到的数。若向右移动的位数不够，就用0补足。四、有理数的混合运算1、有理数混合运算的运算顺序（重点，灵活运用）：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先进行括号里的运算。2、在进行运算时，除了运用有理数混合运算的运算顺序进行运算以外，还要注意灵活运用有理数的运算律，使运算准确而简便。