第二章极限

第二章极限第一节数列极限主要内容一、数列极限：设有数列na，如果存在数a，对总,0N，当aaNnn时，有．称数列na存在极限或收敛．极限是a或收敛于a，表示为时或naaaannn,lim.如果数列na不存在极限，称数列na发散．二、收敛数列的性质1.唯一性：若数列{na}收敛，则它的极限是唯一的．2.有界性：若数列na收敛，则数列{na}有界，即,,0NnM有Man3.保序性：若，则〈，且与babbaannnnlimlimnnbaNnNN〈，有〉，4.若aannlim与,limbbnn且,,NnNN).(nnnnbaba则)(baba5.若NnNNbabaaann,,,lim则且，有babann.6.设{},{}.{}nnnabc是三个数列，若nNN,N,有.lim,limlimlblcacbannnnnnnnn则且三、运算1.若数列{}{}nnab与都收敛，则和数列{}nnab也收敛．且limlimlimnnnnnnnabab2.若数列nnba与都收敛，则乘积数列nnba收敛，且nnnnnnnbabalimlimlim.3.若数列nnba与都收敛，且,0lim,0nnnbb商数列nnba也收敛，且nnnnnnnbabalimlimlim四、常用公式1.有理式比101110110,,lim,kkommnokmaananankmbbnbnbnkm2.lim0(1)nnqq3.lim(nccc为常数）4.1lim0,()knkNn5.lim(1)nanaen6.1limsin1nnn五、充要条件1.Cauchy准则na收敛0,,,,nmNNnmNaa2.子数列法则若数列na收敛于ana的任意子数列kna也收敛于a.六、单调数列单调有界数列存在极限，且单调递增有界数列的极限为其上确界，单调递减有界数列的极限为其下确界.七、Stolz定理1、第一定理设lim0nna，{}nb单调递减趋于0，若11limnnnnnaalbb（其中l为有限数或,）,则limnnnalb。2、第二定理设{}nb单调递增趋于，若11limnnnnnaalbb（其中l为有限数或,）,则limnnnalb。解题方法1.考点1.判断数列的敛散性常用方法：（1）定义法（2）反证法(eg1)（3）Cauchy准则(eg2)2.考点2.求已知数列的极限常用方法：（1）定义法(eg3)（2）两边夹(eg4)（3）放缩法(eg5)（4）用Stolz公式(eg6)（5）变量替换法(eg7)（6）级数法(eg8)（7）积分法(eg9)（8）中值定理(eg10)（9）导数定义（10）单调数列3.考点3.证明数列极限常用方法：（1）定义法(eg11)（2）用Stolz公式(eg12)（3）两边夹公式第二节函数极限主要内容一.定义1.x时，函数xf的极限（1）x时，函数xf的极限定义：设xf在,a有定义，b为常数．若有,,0,0AxA，bxf有.则称xf当x时存在极限或收敛，且极限是b或收敛于b．记为xbxfbxfx或lim．即bxfAxAbxfx有,,0,0lim．（2）xfx,时的极限．定义：设axf,在有定义，b是常数，若有,,0,0AXAbxf．则称xxf当存在极限或收敛，极限是b或收敛于b．记为xbxfbxfx或lim．即bxfAxAbxfx有,,0,0lim．（3）xfxx,时的极限．,:,0,0AxxA定义：设xf在Axx有定义，b为常数．若,0,0AbxfAxx有,:，称函数xf当x时存在极限或收敛，极限是b或收敛于b．记为：xbxfbxfx或lim．2．当ax时，函数)(xf的极限.定义：设函数)(xf在邻域)(0aU有定义，b是常数，若axx0:,0,0＞有bxf)(，则称函数ax时存在极限，极限是b，或b是函数)(xf在a的极限，表示为bxfax)(lim或bxf)()(ax．此定义称为定义．即bxfax)(limaxx0:,0,0，有bxf)(．否定叙述为：bxfax)(limaxx0000:,0,0，有00)(bxf．二.性质1.唯一性：axf在存在极限.则它的极限是唯一的.2.局部有界性：若MxfaxxMbxfax|)(|,||;,0,0,,)(lim003.局部保序性：若bxfax)(lim与cxfax)(lim,且cb.则,000||0:axx,有)()(xgxf.4.局部保号性：若bxfax)(lim，且0b（或0b），则000:,0axx，有0)(xf或（)0)(xf.5.不等式：若bxfax)(lim与cxgax)(lim且000:,0＜＜＞axx，有)()(xgxf,则cb.6.两边夹定理：若lim()lim(),0,(,),xaxafxgxAxUa()()()fxhxgx.则lim()xahxA.三.四则运算：若)(xf函数)(xf与)(xg在a都存在极限，则函数)()(xgxf，)()(xgxf，)0)(()()(xgxgxf也存在极限，且1）)(lim)(lim)()(limxgxfxgxfaxaxax，2）)(lim)(lim)()(limxgxfxgxfaxaxax，3）0)(lim,)(lim)(lim)()(limxgxgxfxgxfaxaxaxax其中四.充要条件：1海涅定理bxfaxlim对任意．．数列,lim,,aaaaannnn且bafnnlim有.2Cauchy准则极限)(limxfax存在''''''0,0,,;0,0xaf()f(x)xxxax与有五.单调有界定理设()fx为定义在()Ua（或()Ua）上的单调有界函数，则lim()xafx（或lim()xafx）存在.六.两个重要极限11sinlim0xxx2exxx)11lim(七.不定式极限1不定式极限的类型包括00，，0，1，00，0，21等，但都可以经过变换化为00或.2洛必达法则（1）若函数)(xf与)(x满足下列条件：1）在a的某去心邻域)(a可导，且0)(x；2）0)(limxfax与0)(limxax；3）lxxfax)()(lim；则lxxfxxfax)()()()(lim.（2）若)(xf与)(x满足下列条件：1）0A,),(A与),(A在可导，且0)(x.2）0)(limxfx与0)(limxx.3）lxxfx)()(lim.则lxxfxxfxax)()(lim)()(lim.八.无穷小与无穷大1．无穷小（1）定义：若,0)(limxfax则称函数xf（当ax时）是无穷小．（2）若函数））（（与axxgxf)(都是无穷小，则函数））（（）（axxgxf是无穷小．既有限个无穷小的代数和仍然是无穷小．（3）若函数))((axxf是无穷小，函数xg在a的某去心邻域),(aU有界．则函数））（（）（axxgxf是无穷小，既无穷小与有界量的积仍然是无穷小．（4）若））（（）（axxgxf为无穷小，则））（（）（axxgxf也是无穷小．（5）bxfax)(lim),()(xbxf，其中))((axx是无穷小（6）设00xgaUxgxf有定义，且在与.（ⅰ）若axxgxfxgxfa，表为0lim,称axxgxf与是高阶无穷小（ⅱ）axxgxfxgxfa~1lim表为.fxgxxa称与是等价无穷小时（ⅲ）若0limbxgxfa,则,可表示为,0limbxgxfaaxxgOxf称xgxf与是同阶无穷小ax.2.无穷大（1）定义:设函数）（在auxf)(有定义，0B，,0:,0axx有Bxf)(，则称函数））（（axxf是无穷大，有时也称函数）（xf在a的极限是无穷大，表为：）（）（或axxfxfax)(lim若将上述定义中不等式Bxf）（分别改为Bxf）（与Bxf）（，则称函数））（（axxf是正无穷大与负无穷大，并分别表为：xxfxfax（）（或)(lim)a与)(limxfax或)axxf（）（.（2）若函数xgxf与，ax是无穷大，则函数））（（）（axxgxf是无穷大．（3）若函数axxf是无穷大，函数gx在a的某去心邻,0aU有界，则函数axxgxf也是无穷大．（4）若函数axxf是无穷小，（或是无穷大），且0xf,则函数axxf1是无穷大（或无穷小）．3.当0x时，有下列常用的一组等价无穷小：xesintanarcsinarctan1xxxxxxxxx2ln(1)1cos1ln11(1)12xnxxxxxaxaxxxn二.解题方法1.考点1.判断函数极限的敛散性常用方法（1）定义法(eg1)（2）Cauchy准则（3）左右极限法(eg2)2.考点2.求函数的极限常用方法（1）定义法(eg1)（2）两边夹法则(eg3)（3）放缩法(eg4)（4）洛比达法则(eg5)（5）通过等式变形为已知极限(eg6)（6）级数法(eg7)（7）用等价无穷小替换(eg8)（8）自然对数法(eg9)（9）利用积分中值定理(eg10)（10）因式分解法(eg11)（11）用变量替换(eg12)