第二章极限习题及答案函数的连续性

分段函数的极限和连续性例设)21(1)1(21)10()(xxxxxf（1）求）xf(在点1x处的左、右极限，函数）xf(在点1x处是否有极限？（2）函数）xf(在点1x处是否连续？（3）确定函数）xf(的连续区间．分析：对于函数）xf(在给定点0x处的连续性，关键是判断函数当0xx时的极限是否等于)(0xf；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim)(lim11xxfxx11lim)(lim11xxxf∴1)(lim1xfx函数）xf(在点1x处有极限．（2）)(lim21)1(1xffx函数）xf(在点1x处不连续．（3）函数）xf(的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f存在，则）xf(在1x处就连续．求分段函数在分界点0x的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim),(lim)(lim000xfxfxfxxxxxx才存在．函数的图象及连续性例已知函数24)(2xxxf，（1）求）xf(的定义域，并作出函数的图象；（2）求）xf(的不连续点0x；（3）对）xf(补充定义，使其是R上的连续函数．分析：函数）xf(是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围，给函数）xf(补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求)(lim0xfxx，再让)(lim)(00xfxfxx即可．解：（1）当02x时，有2x．因此，函数的定义域是,22,当2x时，.224)(2xxxxf其图象如下图．（2）由定义域知，函数）xf(的不连续点是20x．（3）因为当2x时，2)(xxf所以4)2(lim)(lim22xxfxx因此，将）xf(的表达式改写为)2(4)2(24)(2xxxxxf则函数）xf(在R上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例利用连续函数的图象特征，判定方程01523xx是否存在实数根．分析：要判定方程0)(xf是否有实根，即判定对应的连续函数)(xfy的图象是否与x轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．解：设152)(3xxxf，则）xf(是R上的连续函数．又038)3(,1)0(ff，因此在0,3内必存在一点0x，使0)(0xf，所以0x是方程01523xx的一个实根．所以方程01523xx有实数根．说明：作出函数)(xfy的图象，看图象是否与x轴有交点是判别方程0)(xf是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3xxxf是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例函数24)(2xxxf在区间（0，2）内是否连续，在区间2,0上呢？分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．解：224)(2xxxxf（Rx且2x）任取200x，则)(2)2(lim)(lim0000xfxxxfxxxx∴)(xf在（0，2）内连续．但)(xf在2x处无定义，∴)(xf在2x处不连续．从而)(xf在2,0上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例讨论函数)0()11lim()(xxxxxfnnn在1x与21x点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(xf的表达式，使解答搁浅．讨论)(xf在1x与21x点处的连续性，若作出)(xf的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于)(xf的表达式并非显式，所以须先求出)(xf的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含nx，故须分类讨论．解：（1）求)(xf的表达式：①当1x时，xxxxxxfnnnn0101lim1lim1)(②当1x时，xxxxxxfnnx10101)1(1)1(lim)(③当1x时，01111lim)(xxfnnx∴xxxxxf1,1,010,0)(（2）讨论)(xf在1x点处的连续性：1)(lim)(lim,1lim)(lim1111xxfxxfxxxx∴)(lim1xfx不存在，)(xf在1x点处不连续（3）讨论)(xf在21x点处的连续性：21lim)(lim,21lim)(lim21212121xxfxxfxxxx21lim)(lim,21lim)(lim21212121xxfxxfxxxx∴)21(21)(lim21fxfx，)(xf在21x点处连续．根据函数的连续性确定参数的值例若函数0,0,)1()(3xaxxxfx在0x处连续，试确定a的值解：xxxxxf300)1(lim)(lim,)0(,)1(lim3310afexxx欲)(xf在0x处连续，必须使)0()(lim0fxfx，故3ea说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．