第二章极限习题及答案极限的四则运算

自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限：（1）42242115limxxxxx（2）1212lim223xxxxx分析：第（1）题中，当x时，分子、分母都趋于无穷大，属于“”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当x时，分式1223xx与122xx都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim2115lim24424224xxxxxxxxxx.212000012lim1lim1lim1lim5lim1lim2442xxxxxxxxxx（2）)12)(12()12()12(lim1212lim2223223xxxxxxxxxxxx)12)(12(11lim)12)(12(lim2223xxxxxxxxx41)02)(02(01)12(lim)12(lim)11(lim2xxxxxx说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例求极限：（1）)11(lim22xxxxx（2）)11(lim22xxxxx分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．解：（1）原式22112limxxxxxx222112limxxxxxx.11111112lim22xxxxx（2）原式22112limxxxxxx.11111112lim22xxxxx说明：当0x时，2xx，因此211111121122222xxxxxxxxx．利用运算法则求极限例计算下列极限：（1）123171411lim2222nnnnnn；（2）nnn3112719131lim1.（1992年全国高考试题，文科难度0.63）解：（1）原式11321lim2nnnn232213lim123lim222nnnnnnn.（2）原式31131131limnn41014131141limnn.说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式123lim14lim11lim222nnnnnnn（2）原式413113102719131311lim271lim91lim31lim1nnnnnn用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例设*Np，求nnpn1111lim1．分析：把111pn用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111ppppppnCnCnCnpppppppnCCnCnCnn)1()1(11111113122111111111lim111pCnnppn或：逆用等比数列求和公式：原式pnnnn1111111lim211111pp个说明：要注意p是与n无关的正整数，111pn不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求.)1(limnnnn分析：当n时，所求极限相当于0型，需要设法化为我们熟悉的型．解：nnnn)1(lim.211111lim1lim)1()1)(1(limnnnnnnnnnnnnnn说明：对于这种含有根号的0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nnn1，即为型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例已知161)2(44lim2nnnnm，求实数m的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim)2(44lim2nnnnnnmm于是142m，即26,424mm．说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161limnnm可知，nm42的极限必为0，而0nq的充要条件是1q，于是解不等式142m．零比零型的极限例求xxx11lim100．分析：这是一个00型的极限，显然当0x时，直接从函数xx1110分子、分母中约去x有困难，但是1110x当0x时也趋近于0，此时x化为1)1(1010x，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101xy，则110yx．解：设101xy，则110yx，于是，当0x时，1y．原式10111lim11lim891101yyyyyyy说明：本题采用的换元法是把0x化为01y，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些00型的极限问题．例如对于11lim21xxx，我们一般采用因式分解，然后约去1x，得到2)1(lim1xx．其实也可以采用这种代换，即设1xt，则当1x时，0t，这样就有.2)2(lim1)1(lim11lim02021tttxxttx组合与极限的综合题例)(lim1222nnnnnCCA．0B．2C．21D．41分析：将组合项展开后化简再求极限．解：1222limnnnnnCC.4126412lim)22)(12()1(lim)!22()!1()!1(!!)!2(lim222nnnnnnnnnnnnnnnn故应选D．说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．高考填空题1．计算.________)2(limnnnn2．若数列na的通项公式是)N()1(1*nnnan，则.________)(lim21nnana3．计算：.________)13(limnnnn1．解析22222221221lim2limennnnnnnnnnn说明：利用数列极限公式ennn11lim，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．2．解析.21,)1(11annan.23121)11121(lim)1(121lim2nnnnnn说明：本题的思考障碍点是如何求1a？——只要懂得在通项公式中令1n，可立得1a的具体值，本题考查数列极限的基本知识．3．解析nnnn)13(lim21221)121(limennnnn说明：本题考查数列极限公式的应用．根据已知极限和四则运算求其它极限例若12limnnna，且nnalim存在，则.________)1(limnnanA．0B．21C．21D．不存在分析：根据题设知nna和na均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．解：,lim,12lim存在nnnnnana0lim021lim2limlimnnnnnnnannaa又21lim,12limnnnnnana∴21210limlim)(lim)1(limnnnnnnnnnnaanaaan即.21)1(limnnan选C．说明：nnalim是关键，不能错误地认为0limnna，0)1(limnnan．两个数列na、nb的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但nnba的极限不一定存在．化简表达式再求数列的极限例求下列极限（1）112171513lim2222nnnnnn（2）nnn21412113191311lim（3）211511411311limnnn分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．解：（1）原式1)12(753lim2nnn11121lim1)2(lim22nnnnnnn（2）原式nnnnnn211311lim34211231123lim4301013421lim1lim31lim1lim34nnnnnn（3）原式.222lim21544332limnnnnnnn说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为0112lim,,015lim,013lim222nnnnnnn而得到（1）的结果是0．无穷比无穷和字母讨论的数列极限例求下列极限：（1）nnnnn3423352lim11（2）)0(11limaaannn分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．解：（1）原式432315322lim342331522limnnnnnnnn.41540315024lim32lim315lim32lim2nnnnnn（2）当10a时，01111lim11limnnnnaa，当1a时，.110101lim1lim1lim1lim1111lim11limnnnnnnnnnnnnaaaaaa说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为0limnna．根据极限确定等比数列首项的取值范围例已知等比数列na的首项为1a，公比为q，且有211lim1nnqqa，求1a的取值范围．分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知nnqlim存在，因此可得q的取值范围，从而确定出1a的取值范围．解：由211lim1nnqqa，得nnqlim存在．∴1q且0