第二章激光器的工作原理(2)

1第二章激光器的工作原理(2)2.4非均匀增宽介质的增益系数和2.5激光器的损耗与阈值条件22.4非均匀增宽介质的增益饱和上一节讨论的的增益系数和增益饱和是针对均匀增宽介质情况的，一般来讲是针对的没有明显多普勒效应的固体激光器，如四能级系统的YAG（钇铝石榴石）激光器大量使用的气体激光器，如氦氖、氦镉、氩离子激光器等发光的气体粒子处于热运动之中，发出的光的线型函数是非均匀增宽的小信号情况下均匀增宽介质与非均匀增宽介质的粒子数反转分布并没有太大区别，增益系数和增益饱和的原理不同但是其表达公式并无区别在一般情况下，非均匀增宽介质的粒子数反转分布值、增益系数和增益饱和都有很大不同，本节予以详细讨论3小信号粒子数反转分布与频率关系（1）作为对比，先回顾在系统到达动平衡时，均匀增宽介质在小信号时的粒子数反转分布值在前面导出该式的过程中并没有“均匀增宽介质”的限制，因此上式也适用于非均匀增宽介质的情况上式给出了粒子数反转分布的总量，由于线型函数的存在，反转分布的粒子发出的光子频率也是位于中心频率附近的区域内，并不是“单一”的几何线，也可以说粒子数反转也随频率而分布在均匀增宽介质情况下，每一次跃迁产生的对线宽内不同频率的贡献是不变的。这种对不同频率的微贡献与线型函数成正比：因而粒子数反转随频率变化的分布形式与均匀增宽线型函数相同121220)(RRRn00)()(ndfnd00)()(nfn4小信号粒子数反转分布与频率关系(2)在非均匀增宽介质情况下，每一次跃迁只对线宽内一种频率产生贡献。换句话说，跃迁产生的一种频率只来自于一种运动速度的发光粒子。若高能级E2上的粒子中速度在v1到v1+dv之间的粒子数密度为若低能级E1上的粒子中速度在v1到v1+dv之间的粒子数密度为在简并度相同条件下，速度在v1到v1+dv之间的粒子数密度反转分布值为12121021102v)2vexp()2(v)v(dkTmkTmndn12121011101v)2vexp()2(v)v(dkTmkTmndn12121011011102110v)2vexp()2(v)v(v)v(v)v(dkTmkTmndndndn5粒子速度与频率关系考虑正对着粒子运动（运动速度为v1）的方向上接受到的光波的线型函数变为中心频率为的自然增宽型函数，根据光的多普勒效应公式可得用中心频率表示的运动速度v1式中为多普勒增宽产生的高斯线型函数的中心频率，而且速度的微分与频率的微分成正比考虑到多普勒增宽比自然增宽大二个数量级，可以认为在速度间隔v1到v1+dv之间的粒子发出的光全部变为频率为的光波的粒子数（省略自然增宽造成地附加展宽）。上述粒子运动速度与发光频率之间的一一对应关系始终成立，以下讨论中涉及的运动速度v1时，都可用相应频率来取代0011101)(v)v(1cc101101vvdcddcd1111d106小信号粒子数反转分布与频率关系(3)前面给出了粒子数反转分布和发光气体粒子速度之间关系，根据粒子运动速度与发光频率关系可以导出粒子数反转分布与频率之间关系介质中能够辐射中心频率为的光波的粒子数反转分布值与介质中速度在v1到v1+dv之间的光波粒子数反转分布值相等和均匀增宽介质情况一样非均匀增宽介质情况下也有粒子数反转随频率变化的分布形式与线型函数相同，只是此时的光谱线型函数为非均匀增宽多普勒增宽产生的高斯线型函数111d11010202012210110110)(]2)(exp[)2(v)v()(dfndckTmckTmndndnD)()(1010Dfnn7小信号粒子数反转与频率关系曲线小信号粒子数反转与频率关系曲线：粒子数反转随频率变化的分布形式与线型函数相同，无论光谱线型函数为均匀增宽还是非均匀增宽小信号粒子数反转与频率关系曲线)(0n0n0n)(f0)(Df)(Nf8非均匀增宽型介质小信号增益系数(1)均匀增宽介质的小信号增益系数为非均匀增宽型介质的小信号增益系数是由具有不同速度的粒子数密度反转分布值提供的每一个发出频率的高能级粒子都会对于频率的光产生增益贡献，其大小则由频率为中心的均匀增宽的线型函数决定，而相应线型的中心频率移动由粒子的运动速度决定频率为的粒子数密度反转分布对小信号增益系数的贡献为介质中总的小信号增益系数为hfcBnG)()(21001)()()()()(211101211100fhcBdfnhfcBdndGDD)()()()(211100000fhcBdfnGdGDDD11)(f9非均匀增宽型介质小信号增益系数(2)由于自然增宽比多普勒增宽窄很多，因此可以认为多普勒增宽对应的系数在积分过程中是不变的，即，将其提出积分号外面来简化积分从而得到非均匀增宽型介质小信号增益系数为上式在形式上与均匀增宽时得到的结果相同，但是由上述分析看出其实质是有很大区别的，小信号增益频率曲线与小信号粒子数反转与频率关系曲线形状相同2211102100)2()()(2dfhcBnGDD22110210)2()(2)(dfhcBnD)(210DfhcBn)()(ffD10一般情况下粒子数密度反转分布(1)作为对比，还是先给出均匀增宽型介质一般情况下的粒子数密度反转分布的结果对于非均匀增宽型介质，一般情况下的粒子数密度反转分布为2200220000)2)(1()(])2()[(1)()(1sssIInIInffIInn00)()2)(1()()2()(1)()(1)(02212211010DsDssfnIIfIInffIInn1111一般情况下粒子数密度反转分布(2)非均匀增宽型介质，一般情况下，当频率为，光强为I的光波在其中传播时，对中心频率为的粒子来说，相当于用中心频率的光波与均匀增宽型介质作用引起的粒子数密度反转分布值的饱和.其原因是入射的频率为，光强为I的光波只能与介质中表观频率为的粒子产生共振从而使这一部分原子发生跃迁，结果使介质中原子在该频率处产生局部粒子数密度反转分布的饱和此时小信号粒子数密度反转分布值受到非均匀增宽型介质线型函数作用，使得相应一般情况下的粒子数反转分布在频率处变为11)(11)()(10101DssfIInIInn11112一般情况下粒子数密度反转分布(3)当频率为、光强为I的光波在其中传播时，对中心频率为处于频率附近的粒子，由于该粒子中心频率不在处，其附近单位频率间隔内粒子数反转分布值的饱和效应规律为1)()2)(1()()2()()()()(1)()(1)()(02212211010DsDssfnIIfffIInffIInn)(n1113粒子数密度反转分布的烧孔效应局部饱和的结果可由上述公式计算其典型值列于表2.6.1中a处由于饱和降到a，点b处由于饱和降到b，点c处饱和效应非常弱可以忽略结果形成“烧孔”孔的深度为孔的宽度（饱和作用宽度）孔的面积为孔的面积与受激辐射功率成正比图中除烧孔处曲线外都是小信号的粒子数密度反转分布曲线b)(naca´b´图2-12非均匀增宽型反转粒子数密度饱和)(n)(1)()(10110nIIIInnss21)1(sII2110)1()(ssIIIInS)(n14非均匀增宽型介质的增益饱和对于非均匀增宽型介质频率为、强度为I的光波仅在频率附近宽度范围内的粒子有增益饱和作用增益系数在处下降的现象称为增益系数的“烧孔”作用)(DG图2-13非均匀增宽型增益饱和1121)](1[sII1115非均匀增宽型介质增益系数烧孔效应和前面的粒子数反转分布曲线一样，除烧孔处曲线外都是小信号的增益曲线烧孔的宽度仍为孔深比粒子数反转分布烧孔浅一些可以证明：在频率为、强度为I的光波作用下，介质的增益系数为)(DG图2-13非均匀增宽型增益饱和121)1(sII21101)1()()(sDDIIGG1)(1DG16非均匀增宽型介质的增益饱和的特点从上面的分析可以看出，光波I使非均匀增宽型介质发生增益饱和的速率要比均匀增宽型介质缓慢光波I使均匀增宽型介质对各种频率的光波的增益系数都下降同样的倍数；而对非均匀增宽型介质它只能引起某个范围内的光波的增益系数下降，并且下降的倍数不同17非均匀增宽的增益饱和的对称烧孔对于多普勒增宽来讲，沿腔轴正方向传播的光波I使频率为（即速度为）附近的粒子数密度反转分布饱和；同样沿负轴传播的光波I也会使速度为-v1（其对应的频率为）的粒子数密度反转分布饱和，即沿腔轴负方向传播的频率为的光波将在增益曲线上的附近烧一个孔。如下图示，表现为对称烧孔。当光波频率恰好是多普勒增宽的中心频率时，只烧一个孔，对应着速度为零的跃迁粒子图2-14非均匀增宽型激光器中增益饱和120)(DG1c])([v0011012)v1(c12182.5激光器的损耗与阈值条件激光器内损耗的分类及成因激光器内形成稳定光强（稳定出光）的过程激光器出光的阈值条件对介质能级选取的讨论激光器所需的最低抽运功率的粗略计算19激光器的损耗激光器的损耗的分类：增益介质内部损耗和镜面损耗增益介质内部损耗：由于成分不均匀、粒子数密度不均匀或有缺陷（如固体激光器）而使光产生折射、散射，使部分光波偏离原来的传播方向，以及其它对光能的吸收，造成光能量损耗。内部损耗与增益介质长度有关。此时光在增益介质中的变化规律为其中a内称为内损耗系数，是表示光通过单位长度介质时光强的相对损耗率镜面损耗：镜面的散射、吸收、由于光的衍射使光束扩散到反射镜面以外造成的损耗以及由镜面上透射出去作为激光器的有用输出部分镜面损耗可以通过反射系数r1、r2，透射系数t1、t2和吸收系数a1、a2来表达。zaGII)exp(0内20激光器谐振腔内光强的放大过程在腔长方向上建立z坐标，以垂直方向表示光强，可以画出激光器腔内光强变化图（图中已把两个反射面的镜面损耗都归到第一个反射镜M1上了）zL1I1I2I1I2ImI2ImIAI(L)I(2L)M1M2图2-15谐振腔中光强增长21光强的放大过程的数学描述（1）由于自发辐射，在z=0处有一束强度为I1的入射光沿腔轴传播，此时由于腔内光强很弱，则到达M2的由它反射出的光强为又经过增益介质进行放大，再传到M1时，光强变为光强在M1上一部分反射回腔内继续放大，这部分为光强在M1上一部分作为激光器的输出透射出去，这部分为LaGIrIzaGII)exp()exp(012101内内LaGIrLaGII2)exp()exp(012011内内LaGIrrI2)exp(01212内LaGIrtIout2)exp(0121内22光强的放大过程的数学描述（2）其余部分作为镜面损耗而损失了，这部分为总的镜面损耗为此时腔内光的放大倍数为光线往返于两反射镜之间，每往返一次就重复上述放大过程一次并放大K倍，如此往返不止来回放大，直至腔内光强和介质的饱和光强接近时光的放大速率由于饱和而下降，最后到达放大和损耗相抵消的动平衡。LaGIraIaIh2)exp(012111内LaGIrtaIIhout2)exp()(01211内12)exp(02112LaGrrIIK内23腔内稳定出光过程随着光强的增大，增益系数进一步减小，由增益的而