第二章矩阵

1第二章矩阵一、矩阵的概念与运算1．矩阵的定义由m×n个数),,2,1;,,2,1(njmiaij组成的m行n列的矩形数表mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为m×n矩阵，记为nmijaA)(矩阵的行数和列数不一定相等。行数和列数相等的矩阵称为方阵。AB：矩阵A和矩阵B必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等。2．矩阵的加法（1）定义：设(),()ijmnijmnAaBb，则mnijijbaBAC)(只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算。（2）运算规律①A+B=B+A；②（A+B）+C=A+（B+C）③A+O=A④A+（-A）=0，–A是A的负矩阵3．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(mnijaAk为常数，则mnijkakA)(矩阵的数乘kA表示对矩阵A中的每一个元素都乘以k。注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列。（2）运算规律①()kABkAkB②()klAkAlA③()()klAklA4．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(npijmnijbBaA则,)c(mpijCAB其中nkkjikijbac1矩阵的乘法AB必须要求A的列数等于B的行数。（2）运算规律2①)()(BCACAB②ACABCBA)(③CABAACB)(（3）方阵的幂①定义：Anija)(，则kkAAA②运算规律：nmnmAAA；mnnmAA)(（4）矩阵乘法与数的乘法运算不同之处①BAAB，kkkBAAB)(例如：0A，0B，00ABBA②ABO不能推出AO或BO0AB，但00A，00B③CAAB不能推出CB只有当A为非奇异矩阵，即||0A时，若0AB，则必有0B。若ABAC，则必有BC。5．矩阵的转置（1）定义：设矩阵A=mnija)(，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为()TjinmAa，（2）运算规律①;)(AATT②TTTBABA)(；③();TTkAkA④TTTABAB)(（3）对称矩阵与反对称矩阵若TAA，则称A为对称阵；AAT，则称A为反对称阵。3【例1】已知BCA，其中121B，(2,1,2)C，求nA.【例2】设100410321A，求nA.4【例3】设3100930000200012A，求nA.【例4】设100001010A，APPB1，其中p为三阶逆阵，求220042AB.5二、可逆矩阵1.定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作1AB。2.A可逆的条件：A可逆0A3.运算规律①(A-1)-1=A；②111)(AkkA，0k；③111)(ABAB；④TTAA)()(11注：1()AB无法则4.特殊矩阵的行列式及逆矩阵①单位阵E：1E；1EE②数量矩阵kE：nkEk；当EkkEk1)(,01时③对角阵：12n，12n若021n，则n111211④上（下）三角阵设1122*nnaaAa，1122nnAaaa若0A，则1A仍为上（下）三角阵5.分块矩阵的逆矩阵6设sAAAA21，则sAAAA21；若每个Ai可逆，则A可逆，且112111sAAAA特殊：21AAA，若A1,A2可逆，则12111AAA21AAA，若A1,A2可逆，则11121AAA【例5】设121011322A，求1A.【例6】已知A，B为三阶方阵，且满足EBBA421，其中E为三阶单位阵.（1）证明矩阵2AE可逆；（2）若200021021B，求矩阵A.7【例7】设A是可逆对称阵，且EBA2，化简TTABEBAE111.8三、伴随矩阵1.定义：TnijAA)(*，其中ijA为ija的代数余子式2.性质：i）EAAAAA**；ii）1*nAA；iii）AAAA1)()(*11*；iv）AAAn2**)(3.用伴随矩阵求逆矩阵公式：*11AAA4.二阶矩阵的伴随矩阵：主对角线对调，副对角线变号dcbaA，则acbdA【例8】BOOAC，则C【例9】设0004131000021000010A，求A中所有元素的代数余子式之和4141ijijA.9四、矩阵方程【例10】已知A，B均为3阶方阵，矩阵Z满足EAZBBZABZBAZA，其中E为三阶单位阵，则Z=（A）122BA（B）11BABA（C）11BABA（D）条件不满足，不能确定【例11】设矩阵A的伴随矩阵8030010100100001*A，且EBAABA311，其中E为4阶单位阵，求矩阵B.10五、初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换①交换两行（列）；②某行（列）乘一个不为零的常数k；③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去.2．初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；交换,ij两行（列），记为(,)Eij；第i行（列）乘以不为零的常数k，记为(())Eik；第j行的k倍加到第i行上去，记为(())Ejki（2）初等阵性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同类型的初等阵，即)1())](([)()]([11kiEkiEijEijE])([)])(([1ikjEikjE（3）方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵tPPP,,,21，使tPPPA21（4）初等阵的行列式1))((,))((,1)(ikjEkkiEijE（5）初等阵的作用对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且AAikjEAkAkiEAAijE))((,))((,)(注：()EijA所得矩阵是A交换了交换,ij两行3．矩阵的等价（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价11（2）A与B等价的三种等价说法①A经过一系列初等变换变到B②存在一些初等阵tsFFEE,,,,,11，使得BFAFEEts11③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B【例12】（06年）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记100010011P，则（A）APPC1（B）1PAPC（C）APPCT（D）TPAPC【例13】计算20062007100001010987654321100001010【例14】设A为n阶可逆阵，交换A的第i行与第j行后得到B。（1）证明B可逆；（2）求1AB12真题分析（05年）设A为n（2n）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,**,BA分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换*A的第1列与第2列得*B(B)交换*A的第1行与第2行得*B(C)交换*A的第1列与第2列得*B(D)交换*A的第1行与第2行得*B（07年）设矩阵0000100001000010A,则3A的秩为___________.（08年）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.13（09年）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为A**32OBAO.B**23OBAO.C**32OABO.D**23OABO.（10年）设A为mn型矩阵，B为nm型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）A、秩r(A)=m,秩r(B)=mB、秩r(A)=m,秩r(B)=nC、秩r(A)=n,秩r(B)=mD、秩r(A)=n,秩r(B)=n