第二章离散傅里叶变换数字信号处理习题答案

第二章离散傅里叶变换(DFT)1．设x(n)=R3(n)求)(~kX，并作图表示)(~nx，)(~kX。解：102)(~)(~NnknNjenxkX=)7sin()73sin(722072kkeekjnknj)(~nx-712789n|)(~kX|k)7()(~rnxnx2.设求：)(~nx，)(~ny的周期卷积序列)(~nf，以及)(~kF。解：rrnfnf)7()(~)6(3)5(2)4()3(0)2()1(2)(3)(nnnnnnnnf)7sin()73sin()(~)7sin()74sin()(~7106472733072kkeekYkkeekXkjnknjkjnknj)7(sin)73sin()74sin()(~)(~)(~2713kkkekYkXkFkj2．用封闭形式表达以下有限长序列的DFT[x(n)]。解：(1)nnny其他,064,1)(rrnxnx)7()(~rrnyny)7()(~nnnx其它,030,1)()()(0nRenxNnjX(k)=DFT[x(n)])()2sin()2sin()(11)(00)21(100000kRNkNekRWeWekRWeNNkNjNkNjkNNNjNnNknNnj(2))(]11211121[)]([)()]()([21)]([][cos)(cos)(0000000kRWeeWeenxDFTkXkXkXnxReRnnnRnxNkNjNjkNjNjenjeN有：由关系：)(cos21)1cos(coscos120000kRWWNWWNNkNkNkNkN(3))]()([21)](Im[]Im[sin)(sin)(000kXkXjnxennnRnxnjN由关系：有：X(k)=DFT[x(n)])(]11211121[)(0000kRWeejWeejkXNkNjNjkNjNj)(cos21)1sin(sinsin20000kR(4))()sin(2)()1()()()()()2(10kRkNNekRWNkRnWkXnnRnxNkNjNkNNnNknNN4.已知以下X(k),求IDFT[X(k)],其中m为某一正整数,0mN/2.解：(1)10)())(1()]([)(,0,2,2)(NkNknNjjnRWKXNkXIDFTnxkmNkeNmkeNkX其他)()(21)()(2122)(nReeeenRWeWeNNmnjjNmnjjNnmNNjmnNj)()2cos(nRNmnN(2))()sin(2)()1()()()()()2(10kRkNNekRWNkRnWkXnnRnxNkNjNkNNnNknNN其他,0,2,2)(mNkjeNmkjeNkXjjx(n)=IDFT[X(k)]=)())(1nRWkXNNknN（)()(2122nReeeejNNmnjjNmnjj)()2sin(nRNmnN5．有限长为N=100的两序列9990,1891,00,1)(,9911,0100,1)(nnnnynnnx作出x(n),y(n)示意图,并求圆周卷积f(n)=x(n)y(n)并作图。解：nnnnnnynxnf其他,09990,89100,11)()()(x(n)y(n)1099n9099ny(n)109099n6．有限长序列N=10的两序列用作图表示x(n),y(n)f(n)=x(n)y(n)。解：x(n)09n95,140,1)(,95,040,1)(nnnynnnxy(n)9nf(n)51-1n-3-57．已知两有限长序列)()2sin()(),()2cos()(nRnNnynRnNnxNN用卷积法和DFT变换两种方法分别求解f(n)。解：(1))(2cos2)2sin2cos2sin2cos2(cos)())(2cos2cos(1010210nnRNNmNmNnNmNnNnRmnNmNNNmNmNmNkNkNnxDFTkX其他,01,1,2/)]([)()()))(()(()(~*)()(10nRmnxmxnxnxnfNNNm)()))(()(()(~*)()(10nRmnxmxnxnxnfNNNm)())(1()(,01,1,4/)(102nRWkFNnfkNkNkFNNkknN其他)(2cos4)()(4)()(4[22)1(nnRNNnReeNnRWWNNNnNjnNjNnNNnN(2))()))(()(()(*)()(10nRmnxmynxnynfNNmN)(2sin2)()2sin2sin2cos2sin2(cos)())(2cos2sin(1021010nnRNNnRmNnNmNmNnNnRmnNmNNNNmNmNNmkNkNjkNjnyDFTkYkNkNnxDFTkX其他其他,01,21,2)]([)(,01,1,2/)]([)(kNkNjkNjkF其他,01,41,4)(22)()44()())(1()()1(10nRWjNWjNnRWkFNnfNnNNnNNNkknN)(2sin2)()2(222nnRNNnRjeeNNNnNjnNj(3))()))(()(()(*)()(10nRmnymynynynfNNmN)(2cos2)()2sin2cos2cos2sin2(sin)())(2sin2sin(1021010nnRNNnRmNnNmNmNnNnRmnNmNNNNmNmNNm)(2cos2)()](4[)())(1()(,01,1,4)()1(102nnRNNnRWWNnRWkFNnfkNkNkFNNnNNnNNNkknN其他8．x(n)为长为N有限长序列，)()(nxnxoe，分别为x(n)的圆周共轭偶部及奇部，也即：)](Im[)]([)],([)]([)]()([21)()()]()([21)()(0kXjnxDFTkXRnxDFTnNxnxnNxnxnNxnxnNxnxoeeoee证明：证明：)(21)(21)]([21)]([21)]([kNNXkXnNxDFTnxDFTnxDFTe)]([)(21)(21kXRkXkXe)](Im[)(21)(21)]([kXjkXkXnxDFTo9．证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N-n),则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=-x(N-n),则X(k)为纯虚数并奇对称。证：(1)实函数)],([)]()([21)()]()([21)]()([21)(kXRkXkXkXnNxnxnNxnxnxe又：1010)()()()()(NnNknNNNnknNkRWnNxkRWnxkX偶对称),()()()()()()(10)(101kNXkRWmxkRWmxkRWmxNNmmkNNNNmkmNNmNkmN(2))()()],(Im[)]()([21)()]()([21)]()([21)(kXnxkXjkXkXkXnNxnxnNxnxnx纯虚数1010)()()()(:)()()()(NmknNNNnknNkNNWnNxkRWnxkXkNXkXkXWnNx又奇对称),(kNX10．若已知：DFT[x(n)]=X(k)求：)]2sin()([)],2cos()([nNmnxDFTnNmnxDFT。解：)(]))(())(([21]2cos)([]))(())(([21])(~)(~[21]2cos)(~[)())(()(,))(()(~nRmkXmkXnNmnxDFTmkXmkXWnxWnxDFSnNmnxDFSnRnxnxnxnxNNNNNmnNmnNNNN同理：)(]))(())(([21]2sin)([nRmkXmkXjnNmnxDFTNNN11．若长为N的有限长序列x(n)是序列x(n)=)(nRN(1)求Z[x(n)]并画出其零极点分布；(2)求频谱)(jeX并作幅度曲线；(3)求DFT[x(n)]用封闭形式表达式，并对照)(jeX。解：(1)Z[x(n)])1(11111zzzzzNNN图略(2)2sin2sin11)(21NeeeeXNjjNjj(3))(11)(10kN12．已知x(n)是长为N的有限序列，X(k)=DFT[x(n)],现将长度扩大r倍,得长度为rN的有限长序列y(n)1,010),()(rNnNNnnxny求：DFT[x(n)]与X(k)的关系。解：101010)()()()()()(NnnrkNrNnknrNNnknNrkXWnxWnykYWnxkX13.已知x(n)是长为N的有限长序列,X(K)=DFT[x(n)],现将x(n)的每两点之间补进r-1个零点,得到一长为rN的有限长序列y(n)nNiirnrnxny其他,01,,0,),/()(求：DFT[y(n)]与X(k)的关系。解：)()()()()()(101010kXWixWnykYWnxkXNikiNrNnknrNNnknN14．若DFT[x(n)]=X(k)，求证：DFT[x(n)]=NNkx))((证：.)()()()()()(:)()]([:1,010),()()(,)],([)(,)(.12)(11)()3(2sin2sin11)()2(1010101021NnnrkNrNnknrNNnknNkNkNNNnknNNjjNjjrkXWnxWnykYWnxkXkXnyDFTrNnNNnnxnynyrNrnxDFTkXNnxkN解的关系与求有限长序列的得长度为倍现将长度扩大的有限长序列是长为已知1010)())(()(~10,)()(NkknNNNnknNWkXnNxnxNNnWnxkX上式中，令k=m-n=k则：)]([))(()())((10nXDFTkNxWmXkNxNNmkmNN15．已知复有限长序列f(n)是由两实有限长序列x(n),y(n)组成f(n)=x(n)+jy(n)，令已知DFT[f(n)]=F(k),求X(k),Y(k)以及x(n),y(n)。解：(1)kNNkNNbWbjWkF1111)()]()([21))](([)]([)(kNFkFnfRDFTnxDF