第二章第10课时知能演练轻松闯关

第二章第10课时知能演练轻松闯关1．设y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)解析：选D.∵y＝－2exsinx，∴y′＝(－2ex)′sinx＋(－2ex)·(sinx)′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．2．曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x－2B．y＝2x＋2C．y＝x－1D．y＝x＋1解析：选C.f′(x)＝lnx＋1，f′(1)＝1，f(1)＝0.切线方程为y＝1×(x－1)，即y＝x－1，故选C.3．(2012·绵阳质检)设函数f(x)＝13ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0＝________.解析：由已知f′(x)＝ax2＋b，又f(3)＝3f′(x0)，则有9a＋3b＝3ax20＋3b，所以x20＝3，则x0＝±3.答案：±34．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：依题意得2×1－3f(1)＋1＝0，即f(1)＝1，f′(1)＝23，则f(1)＋f′(1)＝53.答案：53一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝1x·ln2；③(ex)′＝ex；④1lnx′＝x.A．1B．2C．3D．4解析：选B.求导运算正确的有②③，故选B.2．函数y＝x2cosx的导数为()A．y′＝2xcosx－x2sinxB．y′＝2xcosx＋x2sinxC．y′＝x2cosx－2xsinxD．y′＝xcosx－x2sinx解析：选A.y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.故选A.3．函数f(x)＝lnxx在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝()A．－1eB.1eC.1e2D．e2解析：选B.与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝1x0·x0－lnx0x20＝1－lnx0x20＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝1e.4．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2012(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析：选B.∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2012(x)＝f4(x)＝sinx－cosx，故选B.5．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线y＝1所围成的三角形的面积为()A.112B.16C.13D.12解析：选B.求导得y′＝3x2，所以y′＝3x2|x＝1＝3，所以曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是23，0，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×1－23×1＝16，故选B.二、填空题6．函数y＝sinxx的导数为________．解析：y′＝xx－sinx·x′x2＝xcosx－sinxx2.答案：xcosx－sinxx27．(2012·开封调研)若函数f(x)＝12x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.答案：6三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)(1＋1x)；(2)y＝tanx；(3)y＝(1＋sinx)2.解：(1)∵y＝(1－x)(1＋1x)＝1x－x＝x12－x12，∴y′＝(x12)′－(x12)′＝－12x32－12x12.(2)y′＝(sinxcosx)′＝xx－sinxxcos2x＝cosxcosx－sinx－sinxcos2x＝1cos2x.(3)y′＝[(1＋sinx)2]′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)·cosx＝2cosx＋sin2x.10．已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值．解：因为f′(x)＝x－ax(x＞0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，解得a＝2，b＝－2ln2.11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.(1)求x0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)、g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当x0时，－x0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.(2)若f(x)、g(x)在x＝x0处的切线互相平行，则f′(x0)＝g′(x0)，则f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝1x0，解得x0＝±12，又由题知x00，∴得x0＝12.解析：选B.与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝1x0·x0－lnx0x20＝1－lnx0x20＝0，故x0