第二章第1节整式

年级初一学科数学版本人教新课标版课程标题第二章第1节整式编稿老师巩建兵一校黄楠二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1、掌握单项式、多项式、整式的有关概念，能指出单项式和多项式的系数和次数．2、了解整式读、写的约定俗成的一般方法，能根据给出字母的值求多项式的值．3、体会用字母表示数的意义，进一步强化符号感．二、重点、难点：重点：掌握单项式和多项式的有关概念，判断一个式子是不是整式．难点：（1）知道单项式、多项式、整式的项以及这三者次数的联系和区别；（2）分析实际问题中的数量关系，并会用字母表示．三、考点分析：整式的概念是整式运算的基础，在中考中主要考查单项式的次数、系数；多项式的次数、项数，命题的形式多为填空题和选择题，但近几年来中考中出现的次数不多．1、用字母表示数的式子在书写时应注意：（1）当数字和字母相乘时，乘号通常省略不写，或简写成“·”，并且数字在前，字母在后，如3a；（2）如果系数是带分数，要化成假分数．如103x不能写成313x；（3）除法要写成分数的形式；（4）如果式子中含有因数1或－1，其中的“1”可以省略不写，如a、－xy2．2、单项式（1）定义式：由数字和字母的积组成的式子叫做单项式．特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式．如－3、a、πr2、ab3、25、－3ab2c3等都是单项式．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．如a、πr2、ab3、－3ab2c3的系数分别是1、π、13、－3．（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数．如a、πr2、ab3、－3ab2c3的次数分别为1、2、2、6．3、多项式（1）定义：几个单项式的和叫做多项式，如2x＋1，a－2等．（2）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，单项式的次数是几，就叫几次项．如多项式3x3－2x2＋x＋8中，一共有四项，分别是：3x3、－2x2、x、8；其中8是常数项，而3x3是三次项，－2x2是二次项，x是一次项．一个多项式中有几项，它就叫几项式，如上述的多项式有四项，故称四项式．（3）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数．如上述的多项式里，次数最高为“3”，所以这个多项式的次数就是3，称作三次四项式．4、整式单项式和多项式统称为整式．知识点一：实际问题中的数量关系例1：填空题：（1）x的20%与7的差表示为__________．（2）某公司去年生产电脑2000台，今年生产电脑的台数比去年增长了a倍，今年生产电脑__________台．（3）某公园的门票价格为：成人票20元，学生票10元．一个旅游团有成人a人，学生b人，该旅游团应付__________元门票费．（4）三个连续奇数，中间的一个奇数是2n＋1，其他两个奇数分别是__________和__________．思路分析：1）题意分析：本题要求列式表示问题中的数量关系．2）解题思路：（1）根据题意，x的20%表示为20%x，再与7的差为20%x－7．（2）先求出今年比去年增长的台数2000a，它与去年生产的电脑2000台之和，即为今年生产的总台数．（3）根据题意，分别求出成人门票费20a元与学生门票费10b元，其和为旅游团应付的门票费．（4）我们知道：连续奇数相差2，中间的奇数是2n＋1，较小的即它前面的奇数是2n＋1－2＝2n－1，较大的，即它后面的奇数是2n＋1＋2＝2n＋3．解答过程：（1）20%x－7；（2）2000＋2000a；（3）20a＋10b；（4）2n－1，2n＋3．解题后的思考：本题（2）和（3）中都有字母a，一个表示增长的倍数，一个表示人数．可见，同一个字母或同一个式子在不同的情境中所表示的意义是不相同的．例2：某地区冬季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.5℃．（1）如果山脚温度是－10℃，则山上x米处的温度是多少？（2）如果山脚处的温度保持不变，那么山上200米、1000米、3000米处的温度各是多少？思路分析：1）题意分析：本题要求先求出山上x米处的温度，这个温度是一个含有x的式子．再把200米、1000米、3000米分别代入，求对应高度的温度．2）解题思路：（1）依题意得，高山上的温度从山脚处开始每升高1米降低0.5100℃，那么每升高x米，温度降低0.5100x℃．（2）把x＝200、1000、3000这三个特定值代入（1）中所求出的式子即可求出不同高度时的温度．解答过程：（1）山上x米处的温度是－10－0.5100x＝－10－1200x．（2）把x＝200、1000、3000分别代入－10－1200x中，得：－10－1200×200＝－10－1＝－11（℃）；－10－1200×1000＝－10－5＝－15（℃）；－10－1200×3000＝－10－15＝－25（℃）．解题后的思考：此题中的数量关系虽然简单，但具有一定的代表性，在今后的学习中我们经常会遇到类似的问题．解答此类问题的一般步骤是：先根据题意列出式子，再代入数值进行计算．小结：此类问题难度不大，只要我们记住一些实际问题中常用的等量关系，例如：路程＝速度×时间，利润＝售价－进价，……；同时记住一些数学公式：圆、长方形、正方形的面积公式、周长公式等．这样，解决此类问题就易如反掌了．知识点二：整式的有关概念例3：关于单项式－23x2y2z，下列结论正确的是（）A．系数是－2，次数是7B．系数是－2，次数是5C．系数是－2，次数是8D．系数是－23，次数是5思路分析：1）题意分析：本题考查单项式的系数和次数．2）解题思路：对于A，把2的指数作为了单项式次数的组成部分，而把z的指数1漏掉了，是错误的；对于B，把系数－23中的指数3漏掉了，也是错误的；C的错误是把－23的指数3作为了次数的一部分；D是正确的．解答过程：D解题后的思考：单项式的系数是指它的数字因数，而不需要考虑数字因数的形式．如本题单项式的系数是－23，是幂的形式．再如1.2×106a2，其系数是1.2×106，是科学记数法的形式．单项式的次数不能加上数字因数中幂的指数，如－23x2y2z的次数是5，1.2×106a2的次数是2．例4：下列式子：－1、5x－1、－35x＋3、2x2、2yx、ab、a2＋3a－3、－5xy24、a2＋2b－3，其中单项式有：__________，多项式有：__________，整式有：__________．思路分析：1）题意分析：本题考查单项式、多项式、整式的概念．2）解题思路：2yx是2y与x的商，故不是单项式；a2＋2b－3是a2、2b、－3的和，但是2b不是单项式，所以a2＋2b－3不是多项式．解答过程：其中的单项式有－1、2x2、ab、－5xy24；多项式有5x－1、－35x＋3、a2＋3a－3；整式有－1、5x－1、－35x＋3、2x2、ab、a2＋3a－3、－5xy24．解题后的思考：单项式表示数与字母的积，几个单项式的和是多项式，单项式和多项式统称为整式．例5：已知单项式－12x4y3的次数与多项式a2＋8am＋1b＋a2b2的次数相同，求m的值．思路分析：1）题意分析：本题考查单项式的次数和多项式的次数．2）解题思路：－12x4y3的次数是4＋3＝7，多项式a2＋8am＋1b＋a2b2中的各项次数分别为2，m＋2，4．因为单项式的次数与多项式的次数相同，所以多项式的次数为7，即m＋2＝7，m＝5．解答过程：单项式－12x4y3的次数为7．因为单项式与多项式的次数相同，所以多项式的次数是7．多项式a2＋8am＋1b＋a2b2中a2、a2b2的次数分别是2和4，都不等于7．所以8am＋1b的次数必为7．即m＋1＋1＝7，所以m＝5．解题后的思考：多项式的次数是指多项式中次数最高项的次数，多项式a2＋8am＋1b＋a2b2的次数可能是a2b2的次数，也可能是8am＋1b的次数．因为a2b2的次数是4，所以只有8am＋1b的次数等于7才能满足题意．例6：回答下列问题：（1）如果（m＋1）2x3yn－1是关于x、y的六次单项式，则m、n应满足什么条件？（2）如果2xn＋（m－1）x＋1是关于x的三次二项式，求m2－n2的值；（3）若多项式x2＋2（k－1）xy＋y2－k不含xy的项，求k的值．思路分析：1）题意分析：本题考查单项式、多项式的综合应用，可将除字母x、y以外的字母都看成已知数．2）解题思路：（1）（m＋1）2x3yn－1是关于x、y的六次单项式，次数六指的是x、y的指数和，即3＋n－1＝6，所以n＝4．同时只有该单项式的系数m＋1不为0时，题目才有意义，即m≠－1，所以为m≠－1且n＝4．（2）因为2xn＋（m－1）x＋1是关于x的三次二项式，常数项为1，（m－1）x项的次数为1，所以三次项只能是2xn项，即n＝3．要保证存在两项，只能让（m－1）x不存在，即m＝1，所以为m＝1，且n＝3．这样m2－n2＝12－32＝－8．（3）不含xy项，说明xy的系数为0，即2（k－1）＝0，得k＝1．解答过程：（1）由（m＋1）2≠0，且3＋n－1＝6，得m≠－1，且n＝4．（2）由题意知，n＝3，且m－1＝0，所以m＝1，n＝3．所以当m＝1，n＝3时，m2－n2＝－8．（3）由题意2（k－1）＝0，得k＝1．解题后的思考：不含某项说明这一项的系数为0．小结：解决此类问题的关键是牢固掌握整式的相关概念，无论题目形式如何变化，解题的方法仍然是以概念为依据．知识点三：关于整式的规律问题例7：研究下列算式，寻找规律：1×3＋1＝22；2×4＋1＝32；3×5＋1＝42；填空：4×6＋1＝_______；5×7＋1＝_______；6×8＋1＝_______；……；99×101＋1＝_______；请你将找出的规律用公式表示出来．思路分析：1）题意分析：通过计算，前三个空能够轻易填上，第4个空在计算上略有麻烦．如果借助本题规律便能轻易解决问题．2）解题思路：我们知道：第四个算式4×6＋1＝25＝52，第五个算式5×7＋1＝36＝62，第六个算式6×8＋1＝49＝72，以此类推，第n个算式：n×（n＋2）＋1＝（n＋1）2，所以99×101＋1＝（99＋1）2＝1002．解答过程：52，62，72，1002．规律：n×（n＋2）＋1＝（n＋1）2．解题后的思考：由算式找规律的题目在中考中经常出现，做这类题要认真审题，仔细观察题目中的已知条件，寻找特点及数量间的关系，进而发现规律，并会用式子或算式表达规律．例8：搭一个正方形需要4根火柴棒．（1）按下图的方式，搭2个正方形需要__________根火柴棒，搭3个正方形需要__________根火柴棒，搭10个这样的正方形需要__________根火柴棒．（2）搭80个这样的正方形需要多少根火柴棒？（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？(1)(2)(3)思路分析：1）题意分析：显而易见，搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需10根火柴棒，如果搭10个这样的正方形光用拼摆的方式解决问题就有点困难了，如果搭80个这样的正方形更是难上加难，所以，还是寻找出规律比较容易解决问题．2）解题思路：我们可以这样看：把搭第一个正方形的方法看做是先搭1根再增加3根，那么搭x个正方形就需要（1＋3x）根，如图所示，或把每一个正方形都看成是用4根搭成的，然后再减去多算的根数，将得到4x－（x－1）．解答过程：（1）7，10，31；（2）241；（3）3x＋1．解题后的思考：解决图形规律问题的方法很多，本题还可以这样分析，把火柴棒分成横放的和竖放的．第1个：横放1×2，竖放2；第2个：横放2×2，竖放3；第3个：横放3×2，竖放4；…第x个：横放x×2，竖放x＋1，即2x＋x＋1．小结：解探索规律类问题的关键是将算式或图形进行必要的分解，看出哪些数（或图形）是不变的，哪些是变化的．对于变化的数或图形，只有找到它们与序数的关系才能正确解决问题．1、正确理解单项式、多项式、整式的概念，分清单项式的次数、多项式的次数、多