第二章第4课时知能演练轻松闯关

一、选择题1．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a0)，若x1x2，x1＋x2＝0，则()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)f(x2)D．f(x1)与f(x2)大小不能确定解析：选A.函数f(x)的对称轴为x＝－1，结合图像可知f(x1)f(x2)．2．幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点2，14，则f(x)的一个递减区间是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，0)解析：选B.∵图像过2，14，则14＝2α，∴α＝－2.∴f(x)＝x－2.由y＝x－2的图像可知f(x)的减区间是(0，＋∞)．3．(2013·芜湖模拟)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图像可能是()解析：选C.根据幂函数的性质，当幂指数a0时，函数图像不过坐标原点且在(0，＋∞)上单调递减，选项A、B中的图像符合幂指数a0，但此时一次函数y＝ax－1a是单调递减的，选项A不符合要求，选项B中，一次函数图像的斜率和在y轴上的截距相矛盾；当a0时，幂函数图像过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递增，选项C、D中的幂函数图像符合要求，但选项D中的一次函数y＝ax－1a中a0，所以只有选项C中的图像是有可能的．4．(2013·宁德调研)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.∵f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，∴当x＝0时，f(x)取最小值，f(0)＝a，则a＝－2，∴f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取最大值1.5．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x12的图像经过的“区域”是()A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：选D.对幂函数y＝xα，当α∈(0,1)时，其图像在x∈(0,1)的部分在直线y＝x上方，且图像过点(1,1)，当x1时其图像在直线y＝x下方，故经过第①⑤两个“区域”．二、填空题6．(2013·烟台调研)若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．解析：由已知条件当m＝0，或m0－12m≤－2时，函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，解得0≤m≤14.答案：0，147．(2013·安康模拟)如图为幂函数y＝xαi(i＝1,2,3,4)在第一象限内的图像，则α1，α2，α3，α4按由小到大的顺序排列为________．解析：首先根据图像的特点和幂函数的单调性，得α10，α40，α20，α30，令x＝a且a1，根据函数图像的特点可知aα3aα2aα4aα1，由于指数函数y＝ax(a1)是单调递增函数，故α3α2α4α1.答案：α3α2α4α18．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α0,1β2，则实数m的取值范围是________．解析：∵α＋β＝m，α·β＝1，∴m＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1m2＋12，即m∈2，52.答案：2，52三、解答题9．(2013·聊城模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．解：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a≥1时，ymax＝a；当0a1时，ymax＝a2－a＋1；当a≤0时，ymax＝1－a.根据已知条件：a≥1，a＝2，或0a1，a2－a＋1＝2，或a≤0，1－a＝2，解得a＝2，或a＝－1.10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上是增加的，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]，x2－2x＋3，x∈[－6，0]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．一、选择题1．(2013·九江模拟)若函数f(x)是幂函数，且满足f4f2＝3，则f12的值等于()A．－3B．－13C．3D.13解析：选D.依题意设f(x)＝xα(α∈R)，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log23，则f(x)＝xlog23，于是f12＝12log23＝2－log23＝2log213＝13.2．已知m2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图像上，则()A．y1y2y3B．y3y2y1C．y1y3y2D．y2y1y3解析：选A.由题意知二次函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上单调递增，又1m－1mm＋1，所以y1＝f(m－1)y2＝f(m)y3＝f(m＋1)．二、填空题3．(2013·宝鸡调研)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)≤0，x∈[0,1]，所以a0，即函数的图像开口向上，对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.答案：[0,2]4．已知函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”．在函数：①f1(x)＝x，②f2(x)＝x，③f3(x)＝x2中，其中______是“保三角形函数”(填上正确的函数序号)．解析：对任意一个三角形，它的三边长为a，b，c，不妨设a≥b≥c，又b＋ca，b＋cb＋ca，f1(x)＝x为“保三角形函数”；f2(x)＝x为“保三角形函数”；对于f3(x)＝x2,3,3,5可作为一个三角形的边长，但32＋3252，所以不存在以32,32,52为三边长的三角形，f3(x)＝x2不是“保三角形函数”，故①②正确．答案：①②三、解答题5．(2013·宿州月考)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由；(3)结合函数图像示意图，请把f(8)，g(8)，f(2012)，g(2012)四个数按从小到大的顺序排列．解：(1)由图像可知C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)a＝1，b＝9，∵f(1)＝2g(1)＝1，f(2)＝4g(2)＝8，∴x1∈[1,2]，即a＝1.f(3)＝8g(3)＝27，f(4)＝16g(4)＝64，f(5)＝32g(5)＝125，…，f(9)＝512g(9)＝729，f(10)＝1024g(10)＝1000，所以x2∈[9,10]，即b＝9.(3)由题意可得，f(8)g(8)g(2012)f(2012)．