第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示

1第二章曲面的表示与曲面论第一节曲面的显式方程和隐式方程一、由显式方程表示的曲面设2RD是有界闭区域，函数RDf:连续。我们称函数f的图像}),(),,(:),,{()(3DyxyxfzRzyxfG为一张曲面，它展布在D上，称这个曲面是由显式方程Dyxyxfz),(),,(所确定的。通常用表示一个曲面。二、几种常见的曲面例1在空间直角坐标系中，中心在坐标原点、半径为a、在xy平面上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为2222yxaz，Dyx),(，其中}:),{(222ayxyxD，即D是xy平面上以原点为中心、半径为a的圆盘。显然，下半球面的方程为222yxaz，Dyx),(；同样可给出左半球面、右半球面的方程式。例2点集}1,0,,:),,{(zyxzyxzyx是3R中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达yxz1，Dyx),(，其中}1,0,:),{(yxyxyxD。例3由方程axyz，2),(Ryx，（常数0a），所确定的曲面称为双曲抛物面。由于这曲面在在xy平面的上的，第一、第三象限中，在xy平面的上3方，而在第二、第四象限中是在xy平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。例4旋转曲面的方程1设想在xz平面上有一条显式曲线)0(),(bxaxfz。如果固定z轴不动，让xz平面绕着z轴旋转360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面。设),,(zyx，它在过点),0,0(z平行于xy平面的平面上，以),0,0(z为中心，半径为r的圆周上（)(rfz），222ryx，于是得这个旋转曲面的方程为):(),(222222byxaDyxfz。4曲线,00),(ybxaxfz称为这个旋转曲面的发生线。为了了解旋转曲面的几何形态，通常看一看发生线的形状就足够了。例如曲面222),(,Ryxyxz，是一个旋转曲面，这是一个圆锥面；它的发生线是直线)0,0(,yxxz。曲面22yxz，2),(Ryx，是一个旋转抛物面，因为它的发生线是抛物线)0,0(,2yxxz52把xz平面上曲线),0)()((bxaxfxfz绕x轴旋转一周，那么这条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面。设),,(zyx，它在过点)0,0,(x平行于yz平面的平面上，以)0,0,(x中心，半径为)(xf的圆周上。显然，曲面的方程为222))((xfzy，由此得旋转曲面在z正方向的方程为22))((yxfz，Dyx),(，其中D是旋转曲面在xy平面的投影区域，bxaxfyxfyxD),()(:),{(。例如把xz平面上曲线22xaz，绕x轴旋转一周，所得旋转曲面方程为2222azyx。6三、曲面的隐式表示例如，}0:),,{(2222azyxzyx表示中心在原点，半径为a的球面，这个球面上的点完全可以用方程02222azyx的解),,(zyx来表示。一般地，设三元函数F定义在区域3RD，区域D中所有满足方程0),,(zyxF，（2）的点集组成一张曲面，称为由方程（2）所确定的隐式曲面。例如，01222222czbyax表示椭球面；0)(222yxz表示锥面。四、曲面的切平面和法向量设Dzyxp),,(0000是隐式曲面（2）上的一点，任意作一条过点0p的曲面上的曲线，设有参数方程7)(),(),(tzztyytxx并且参数0t对应着点0p，将参数方程的三个分量代入（2），得到一个关于t的恒等式0))(),(),((tztytxF，对上式双方在点0t处求导，得到0)()()()()()(000000tzpzFtypyFtxpxF用向量的内积来表示，上式乃是0)(),(),()(),(),(000000tztytxpzFpyFpxF，这表明：曲线在点0p的切向量与向量)(),(),()(0000pzFpyFpxFpF（3）垂直，由于是曲面上过点0p的任一条曲线，而（3）是一个固定的向量，这表明：曲线上过点0p的任何曲线在点0p的切线是共面的。这个平面称为曲面（2）在0p的切平面，8而向量（3）称为曲面（2）在点0p处的一个法向量，所以，曲面（2）在点0p处的切平面的方程是0)()()()()()(000000pzFzzpyFyypxFxx（4）这里),,(zyx是切平面上的流动坐标。曲面在一点处的法线方程亦可写出。例如：考察球面0),,(2222azyxzyxF，在点),,(000zyx处，由（3）可得法向量),,(000zyx，这是一个指向球外的法向量，可以叫做外法向量。为了求球的切平面方程，由（4）可得0)()()(000000zzzyyyxxx，注意到),,(000zyx是球面上的点，92202020azyx上式又可写作2000azzyyxx；例考察椭球面01),,(222222czbyaxzyxF，在点),,(0000zyxp处，法向量)(),(),()(0000pzFpyFpxFpF)2,2,2(202020czbyax，切平面0)()()(020020020zzczyybyxxax，注意到),,(000zyx是椭球面上的点，上式又可写作1202020zczybyxax。例由方程0),(yxF所确定的隐函数Ixxfy),(。10在IxxfxF,0))(,(中对x求导得0)(xfyFxF，0),())(,1(yFxFxf，（两向量正交）；))(,1()(xfxr正是曲线))(,()(xfxxr的切向量，),(yFxF曲线))(,()(xfxxr的法向量。切线方程为0),()(),()(000000yxyFyyyxxFxx。例椭圆或双曲线01),,(2222byaxzyxF，在点),(000yxp处的的法向量法向量)(),()(000pyFpxFpF)2,2(2020byax，切线方程为12020ybyxax。11五、显式曲面的切平面和法向量曲面:Dyxyxfz),(),,(，令),(),,(yxfzzyxF，则此曲面的方程为0),(),,(yxfzzyxF，Dyx),(；任取Dyx),(00，再置),(000yxfz，依（3）可得曲面的一个法向量)1),,(),,((0000yxyfyxxf（5）由（5）看出：这法向量的第三个分量为1，所以它同z轴的正向的夹角不超过2，可以称（5）为上法向量，相应地)1),,(),,((0000yxyfyxxf可称为曲面(,)zfxy的下法向量，这两个法向量只是有相反的方向，所以它们都是垂直于过),,(0000zyxp的切平面。这时切平面的方程为120)())(,())(,(0000000zzyyyxyfxxyxxf，))(,())(,(),(00000000yyyxyfxxyxxfyxfz，(6)六、对隐式曲面0),,(zyxF，在一定条件下，可以解成显式曲面。例如，0)(0pzF，1CF。补充：平面方程，平面的法线方向。由两个曲面相交的曲线的切线方程和法平面方程设曲面0),,(:1zyxF与曲面0),,(:2zyxG的交线为。),,(0000zyxp。13设为曲线在0p处的切向量，则有0)(0pF，0)(0pG记)(01pFn，)(02pGn，显然21nn是曲线在0p处的切线方向，由此可写出切线方程和法平面方程。