第二章第九节函数与方程

第二章第九节函数与方程题组一函数零点的判定1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定解析：若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(－2)f(2)0.若不是变号零点，则f(－2)f(2)0.答案：D2．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1]B．[1,2]C．[－2，－1]D．[－1,0]解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－230，f(0)＝30－0＝10，∴函数f(x)＝3x－x2在区间[－1,0]内存在零点．答案：D3．函数f(x)＝(x－1)lnxx－3的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由f(x)＝(x－1)lnxx－3＝0得：x＝1，∴f(x)＝(x－1)lnxx－3只有一个零点．答案：B4．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－12)·f(12)＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：∵f(x)在[－1,1]上是增函数且f(－12)·f(12)＜0，∴f(x)在[－12，12]上有唯一实根，∴f(x)在[－1,1]上有唯一实根．答案：C5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能确定解析：依题意知，f(x)是一连续不断的曲线且f(1.25)·f(1.5)0，∴根在(1.25,1.5)之内．答案：A题组二函数零点的求法6.(2009·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－12)解析：∵4个选项中的零点是确定的．A：x＝14；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝32.又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，g(12)＝124＋2×12－2＝1＞0，∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于(0，12)之间．答案：A7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．解析：由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029，可知零点近似值为1.56.答案：1.568．设函数f(x)＝222[1,),2(,1)xxxxx则函数F(x)＝f(x)－14的零点是________．解析：当x≥1时，f(x)－14＝2x－2－14＝2x－94＝0，∴x＝98.当x＜1时，x2－2x－14＝0，∵Δ＝4＋1＞0，∴x＝2±4＋12＝2±52，又∵x＜1，∴x＝2－52.∴函数F(x)＝f(x)－14有两个零点98和2－52.答案：98，2－52题组三函数零点的应用9.若二次函数y＝ax2＋bx＋c中a·c0，则函数的零点个数是()A．1个B．2个C．0个D．不确定解析：∵c＝f(0)，∴ac＝a·f(0)0.∴a与f(0)异号，即a0，f(0)0或a0，f(0)0.∴函数必有两个零点．答案：B10．(2009·天津高考)设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则y＝f(x)()A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：f(1e)＝13e＋10，f(1)＝13－00，f(e)＝e3－10，∵f′(x)＝13－1x＝x－33x，∴f(x)在(0,3)上是减函数．根据闭区间上根的存在性定理与函数的单调性作出判断．答案：D11．(2009·山东高考)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.答案：(1，+∞)12．已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；(2)若12＜t＜34，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根．解：(1)证明：由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根．(2)当12＜t＜34时，因为f(－1)＝3－4t＝4(34－t)＞0，f(0)＝1－2t＝2(12－t)＜0，f(12)＝14＋12(2t－1)＋1－2t＝34－t＞0，所以方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根．