第二章经典单方程计量经济学模型一元线性回归模型

1四、习题参考答案2-1．答：⑴总体回归函数是指在给定iX下的Y的分布的总体均值与iX有函数关系。⑵样本回归函数指对应于某个给定的X的Y值的一个样本而建立的回归函数。⑶随机的总体回归函数指含有随机误差项的总体回归函数，形如：iiiuXY21⑷线性回归模型指对参数为线性的回归，即只以它的1次方出现，对X可以是或不是线性的。⑸随机误差项也称误差项，是一个随机变量，针对总体回归函数而言。⑹残差项是一随机变量，针对样本回归函数而言。⑺条件期望又称条件均值，指X取特定iX值时的Y的期望值。⑼回归系数（或回归参数）指1、2等未知但却是固定的参数。⑽回归系数的估计量指用1、2等表示的用已知样本所提供的信息去估计出来的量。⒀估计量的标准差指度量一个变量变化大小的标准。⒁总离差平方和用TSS表示，用以度量被解释变量的总变动。⒂回归平方和用ESS表示，用以度量由解释变量变化引起的被解释变量的变化。⒃残差平方和用RSS表示，用以度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量以外的其他因素引起的。⒄协方差用Cov（X，Y）表示，是用来度量X、Y二个变量同时变化的统计量。2-2．答：错；错；错；错；错。（理由见本章其他习题答案）2-3．答：⑴线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本假设）是：解释变量是确定性变量，而且解释变量之间互不相关；随机误差项具有0均值和同方差；随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序列相关；随机误差项与解释变量之间不相关；随机误差项服从0均值、同方差的正态分布。违背基本假设的计量经济学模型还是可以估计的，只是不能使用普通最小二乘法进行估计。⑸判定系数TSSRSSTSSESSR12，含义为由解释变量引起的被解释变量的变化占被解2释变量总变化的比重，用来判定回归直线拟合的优劣。该值越大说明拟合得越好。⑽不是。2-8．证明：由于21ˆtttXYX，因此)()()()ˆ(122221ttttttttttXVarXXYXXVarXYXVarVar222222222)()()(ttttttXXXVarXX2-9．证明：⑴根据定义得知，)()()(21212121XYnXnnYnXnYXYYYeiiiiiiiXY210ie从而使得：0neei证毕。⑵00)1()(()()()ˆˆ())(ˆ(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiXenXeXeXeXeYXXeXYYXXYeYXXeYYXXYYXYXYXXYXXYYXe证毕。⑶30)(ˆ212121iiiiiiiiieXneXeeXeYe证毕。2-14．答：线性回归模型：tttxy中的0均值假设0)E(2u不可以表示为：101nttn，因为前者表示取完所的可能的样本组合后的平均状态，而后者只是一个样本的平均值。2-16．证明：niiniiiniixyxxnyxy1211ˆˆniiiniininiiiiiniiiyxxyyxyyxyx11111)(iniininiiiniiniiyxxnyxxxny)1(ˆ1211121证毕。2-17．证明：ˆˆ和满足正规方程0)ˆˆ(1niiixyiixyˆˆˆ0)ˆ(1iniiyy即表明Y的真实值与拟合值有共同的均值。证毕。2-18．答：他的论据是错误的。原因是他忽略了随机误差项iu，这个随机误差项可取正值和负值，但是0)E(iu，将iC与iY的关系表达为iiYC是不准确的，而是一个平均关系。2-19．证明：4设：,ˆˆˆ10iixy,ˆˆˆ10iiyx由于：2222222)((1)(iiiiiiiiyyxxyxyxR线性回归的斜率估计量：1221ˆ1/)(1ˆiiiiiiyyxxyx证毕。2-20．证明：∵2xyx又∵12nxSx，12nySy∴ryxyxnynxxyxSSyx2222211证毕。2-22．解：⑴这是一个横截面序列回归。（图略）⑵截距2.6911表示咖啡零售价在t时刻为每磅0美元时，美国平均消费量为每天每人2.6911杯，这个数字没有经济意义；斜率-0.4795表示咖啡零售价与消费量负相关，在t时刻，价格上升1美元/磅，则平均每天每人消费量减少0.4795杯；⑶不能；⑷不能；在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同，若要求出，须给出具体的X值及与之对应的Y值。2-23．解：⑴168nXXi，111nYYi177201111681011101681111680204200)())((YXXYXYYXYYXXiiiiii5331601681681031540010102)2()(222222XXXXXXXXXiiii又5344.03316017720)())((22XXYYXXiii22.211685344.011121XY⑵8)ˆˆ2(210)ˆ(2ˆ22222iiiiiiiYYYYYYneiiXY5344.022.21ˆ81.62016805344.022.2123154005344.05344.022.2122.21102042005344.02111022.212133300)25344.0222.212()ˆˆ2(2122221222iiiiiiiiiiXXYXYYYYYY60.77881.620ˆ281.73331601031540060.77)()(2221XXnXVarii，5913.881.73)(1se0023.03316060.77)(222ixVar，0484.00023.0)(2se⑶222)(1YYerii，10090123210133300)(,81.62022YYeii又9385.01009081.62012r⑷%95)306.2(tp，自由度为8306.25913.822.21306.21，解得：110315.414085.1为的95%的置信区间。同理，306.20484.05344.0306.22，解得：646.04227.02为2的95%的置信区间。6由于02不在2的置信区间内，故拒绝零假设：02。2-24．解：⑴由于参数估计量的T比率值的绝对值为18.7且明显大于2，故拒绝零假设0:0H，从而在统计上是显著的；⑵参数的估计量的标准方差为15/3.1=4.84，参数的估计量的标准方差为0.81/18.7=0.043；⑶由⑵的结果，的95%的置信区间为：043.0)2(81.0(975.0nt，091.081.0()043.0)2(81.0975.0nt，)091.081.0，显然这个区间不包括0。2-25．解：⑴65)80(iXYE77)100(iXYE89)120(iXYE101)140(iXYE113)160(iXYE125)180(iXYE137)200(iXYE149)220(iXYE161)240(iXYE173)260(iXYE