第二章随机变量

8第二章随机变量基本要求理解随机变量及其分布函数；深刻理解离散型的分布列、连续型的密度函数的概念，掌握它们的基本性质；掌握几种常见的分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）；深刻理解随机变量的期望与方差的概念及其意义；理解二维随机向量及其分布函数的概念。重点随机变量的分布及其数字特征难点二维随机向量及其分布函数。第一节随机变量的概念一、随机变量的概念变量中有确定性变量，即变量的变化是确定性的；还有不确定性变量即随机变量，它的取值带有随机性的，随机变量通常用X、Y、…表示。随机试验的定量描述，就是每一个结果赋予相应的数值，使事件与数值间建立对应的关系。即把随机试验的结果进行数量化。例如掷硬币，两种结果：“正”、“反”，“出现正面”~“1”、“出现反面”~“0”又如，人的体重，“体重为60公斤”~“60”、“体重不超过60公斤”~“≤60”定义在随机试验中，若变量X随着试验结果的不同而随机地取各种不同的数值，并且对取每一个数值或某一范围内的值都有相应的概率，则称为随机变量。随机试验的每一个试验结果A都唯一对应于一个实数值)(AX。二、随机变量的类型（1）离散型XX只可能取值有限个或可列个（虽然无限个，但可一个一个地排列起来）。（2）连续型XX可取某一区间或),(上的一切值。例如，X表示从一批产品中抽出n件得到的次品数，它是离散型X；X表示人的体重，它是连续型X。第二节离散型随机变量一、概率分布概率分布对于离散型X不仅要知道它的全部可能取值，还要知道它取每个值的概率值。随机变量X的取值为1x、2x、…、nx、…，且kkpxXP)(，,2,1k…n,，…。称kkpxXP)(（,2,1k…n,，…）或为随机变量X的概率分布或分布列。性质0kp（,2,1k…n,，…）；1kpX1x2x…nx…P1p2p…np…9例1某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽。求耗用子弹数X的分布列。例2设随机变量X的分布列为5,4,3,2,1,15kkkXP。试求：(1)21XXP或；(2)2521XP；(3)21XP例3袋中有12个球，其中2个红球，从中任取3球，求取出的3个球中红球个数的概率分布。例4某机器一天内发生故障的概率为2.0，一旦发生故障则全天停工，一周五个工作日内，如不发生故障可获利10万元，如只发生一次故障则可获利5万元，如果发生2次故障则不获利也不亏损，如发生3次或3次以上故障则亏损2万元。一周内所获利数为X，求X的分布列。二、几种常用的重要分布（1）两点分布（0-1分布）X只取0、1两个数。两点分布产生的背景是一次贝努里试验。中奖与否、合格与否、下雨与否、有效与否等都可用两点分布描述。（2）二项分布),(pnBX为n次独立重复试验中事件A出现的次数。记作X~),(pnBX的取值为0，1，2，…n,，knkknqpCpnkbkXP),;()(，,2,1k…n,二项分布产生的背景是n重贝努里试验。所以两点分布是二项分布的特殊情形。例5某车间的10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为2.0。（1）求同时停车数目X的概率分布；（2）假设同时停车的机器超过两部就会影响车间的生产，求车间的生产正常运行的概率。例6某工厂每天用水量保证正常的概率为43，求最近用量正常的天数的分布。X~),(pnB，则使)(kXP达到最大的0k为非整数时当为整数时当pnpnpnpnpnk)1()1()1(1)1(,)1(0例7某射手射击10发子弹，命中率为7.0，求至少命中3发的概率，最可能命中几发。（3）普阿松分布)(PX的取值为0，1，2，…，记作X~)(P，其分布列为ekkPkXPk!);()(，0，,2,1k…车站的候车人数、一年内发生暴雨的次数等都近似服从普阿松分布。例8设X服从普阿松分布，已知21XPXP，求)(P中的。性质如果n时np，则)(),(PpnB。实际应用中，只要认为n“很大”、p“很小”时就可以用普阿松分布近似描述二项分布，这时np。例9从次品率为015.0的一批产品中以有放回抽取的方式任取100个产品，求（1）取得的次品数不多于2个的概率；（2）取得的次品数至少有1个的概率；（3）取得的次品数正好有1个的概率（次品数X~)015.0,100(B，近似服从普阿松分布）X01Ppq10例10为保证设备正常运转，必须配备一定数量的维修人员，现有同类设备180台，且各台工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是01.0，假设一台设备的故障由一人进行修理，问应配多少名维修人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于99.0。（3）超几何分布设N个元素分为两类：第一类有1N个，第二类有2N个（)(21NNN）。从中不重复抽取n个，X为这n个元素中第一类元素的个数，X的分布列为CCCnNknNkNkXP21)(，,2,1k…，n例11某班有学生20名，其中女生5名。今从中任选4名，求被选到的女生数X的分布。CCCkkkXP4204155)(，,2,1k3，4三、随机变量的分布函数分布函数xXPxF)(，xxX是一个随机事件，分布函数是这一随机事件的概率。性质（1）（单调性）21xx时)()(21xFxF，并且)()(aFbFbXaP（2）1)(0xF（3）1)(lim)(xFFx，0)(lim)(xFFx（4）（右连续性）)()0(xFxF离散型随机变量X的分布律为则X的分布函数为xxkkpxXPxF)(例12设X的分布函数为3,132,4320,210,0)(xxxxxF，求（1）X的分布律；（2）)20(XP，)5.2(XP。例13设X的分布为求X的分布函数。第三节连续型随机变量X1x2x…nx…P1p2p…np…X012P04.032.064.011一、连续型随机变量的概念定义对于随机变量X的分布函数)(xF，若存在非负可积函数)(xf，Rx有xdxxfxF)()(则称X连续型随机变量。其中，)(xf称为X的密度函数。xxxdxxfxxxxXxP)(1)(表示随机变量X落在区间],(xxx的平均概率。如果)(xf在x处连续，则)()(lim0xfxxxXxPx，这就是将)(xf称为“密度函数”的原因。性质（1）连续型随机变量的分布函数是一个连续函数（2）在x处，当)(xf连续时，有)()(xfxF（3）1)(dxxf；00xXP；badxxfbXaP)(（4）xxfxxXxP)(0（xxxx0）例1设X的分布函数为xAxFarctan1)(，x，求常数A例2设随机变量X的密度函数为其它,0],0[,sin)(xxAxf，求（1）常数A；（2）分布函数)(xF；（3）432XP例3设随机变量X的分布函数为0,00,)1()(xxexAxFx求(1)常数A；（2）X的密度函数)(xf；（3）)1(Xp。例4某种元件的寿命X（小时）的概率密度为1000,01000,1000)(2xxxxf，求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。二、几种常用的重要分布（1）均匀分布],[baU密度函数其它,0],[,1)(baxabxf。均匀分布的密度函数在],[ba内是一个常数。分布函数bxbxabaxabaxaxxF,1],,[,,0)(例5某长途汽车每隔3个小时发一班车，某人来到车站前并不知道发车的时刻表，问他候车时间少于半小时的概率。12（2）指数分布0,00,)(xxexfx，0，常用于描述寿命分布。分布函数0,00,1)(xxexFx例6某电子元件寿命X服从参数为10001的指数分布，求（1）该元件使用800小时仍没有坏的概率；（2）在该元件使用了600小时仍没有坏的条件下，它还可以再使用800小时的概率。（)600()1400()600()600,1400()6001400(XPXPXPXXPXXP）（3）正态分布),(2N密度函数222)(21)(xexf性质（1）5.0XP（2）)(xf关于直线x对称，且在x处取得最大值21标准正态分布)1,0(N密度记为2221)(xex，分布函数记为xxdxex2221)()(x可通过查表得到，)(1)(xx，5.0)0(几何上，222)(21)(xexf可通过平移、缩放得到2221)(xex标准化变换),(~2NX，则XY~)1,0(N性质)(aaXP；)()(abbXaP因为)(212122)(22adxedxeaXPaxax%73.993XP，即X的取值几乎总是落在)3,3(中。例7已知X~)2,1(2N，求32.1XP、2.3XP例8公共汽车门的高度是按成年男性与车门的碰头的机会不超过01.0设计的，设成年男性的身高X（厘米），)6,170(~2NX，问车门的最低高度应为多少？第四节随机变量函数的分布设)(xg是一个函数，所谓随机变量X的函数)(XgY，就是随机变量Y在X取值x时，Y取值为)(xgy一、离散型随机变量函数的分布13设X为离散型随机变量，则)(XgY也是离散型随机变量。X的分布律为当X取ix时，)(XgY取值为)(iixgy，若,,21yy均不相同，则由于)()(iixXPyYP（,3,2,1i），因而Y的分布律为若,,21yy中有相同的值，则应将那些使y相同的概率值ip相加。例1设X的分布为求2)1(XY的概率分布。例2设某市一个月内发生火灾的次数)5(~PX，求5XY的概率分布。（YYX55）二、连续型随机变量函数的分布对于连续型随机变量X，求)(XgY的密度函数，一般根据分布函数的定义先求)(XgY的分布函数))(()()(yXgPyYPyFY，通过求导得到)(XgY的密度函数)()(yFyfYY例3设X)1,0(~N，XeY，求Y的密度函数。解0y时，dxeyXPyePyYPyFyxXYln2221)ln()()()(0y时，0)()()(yePyYPyFXY（微积分知识)()(xfdttfdxdxa）定理若随机变量X的密度函数为)(xfX，)(xgy为严格单调函数，且可导，定义域与)(xfX相同，值域为),(ba，则)(XgY的密度函数为其它,0,)()]([)(byayhyhfyfXY，其中)(yhx是)(xgy的反函数。X1x2x…nx…P1p2p…np…)(XgY1y2y…ny…P1p2p…np…X1012P2.03.01.04.0