第二章随机变量及其分布

第二章、随机变量及其分布1随机变量随机变量是概率论中另一个重要的概念。定义：对于一个随机试验E，由于随机因素的作用，试验的结果有多种可能性。记E的基本空间为}{。如果对于试验的每一结果，都对应着一个实数}{X，它是随机试验结果的不同而变化的一个变量，则称}{X为随机变量。随机变量常用大写字母ZYX,,等表示。2离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量及其分布定义：离散型随机变量X的一切可取值,,,,21nxxx与其概率间对应关系,2,1}{kpxXPkk称为X的概率分布或分布律，分布律也可以用表格的形式来表示：Xnxxx21kpnppp21由概率的定义知离散型随机变量X的公布kp应满足如下条件：1、,2,10kpk2、11kkp3随机变量的分布函数一、分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数)()(xXPxF称为X的分布函数。对于任意实数)(,2121xxxx，有)()(}{}{}{121221xFxFxXPxXPxXxP分布函数是一个普通的函数，正是通过它我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数)(xF具有以下的基本性质：（1）)(xF是一个不减函数，事实上1221120}{)()(xxxXxPxFxF（2）10X，且0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx（3）)()0(xFxF，即)(xF是右右连续的。4连续型随机变量的概率密度及其分布函数一、连续型随机变量的概率密度定义：设)(xF为随机变量X的分布函数，若存在一个非负函数)(xf，使得对于任意实数x有xdttfxF)()(则称X为连续型随机变量，其中函数)(xf称为X的概率密度函数，简称概率密度。由定义知道，概率密度函数)(xf具有以下性质：1、0)(xf2、1)(dttf3、21)()()()(}{211221xxxxdxxfxFxFxXxP4、若)(xf在点x处连续，则有)()(xfxF5随机变量函数的分布设xf，如果X是一个随机变量，则Y=Xf也是一个随机变量。我们现在根据X的分布来求Y的分布。1、离散型设X的概率分布（表）为x21kxxxixXP21kppp记iixfy，如果诸iy互不相等，则Y的概率分布为y21kyyyiyYP21kppp这是因为,2,1,)()(jixXPyYPij多维随机变量及其分布1二维随机变量一、二维随机变量函数的分布定义：设E是一个随机变量，它的样本空间是}{。设}{XX和}{Y是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机变量。定义：设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数yx,，二元函数},{),(yYxXPyxF称为二维随机变量（X，Y）的分布函数。分布函数),(yxF具有以下基本性质：1、),(yxF是变量yx和的不减函数，即对于任意固定的y，当12xx时，),(),(12yxFyxF；对于任意固定的x，当12yy时，),(),(12yxFyxF。2、1)(0xF，且对于任意固定的y，0),(yF对于任意固定的x，0),(xF0),(F；1),(F3、)0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF，即),(yxF关于x右连续；关于y右连续。二、二维离散型随机变量如果二维随机变量（X，Y）有所可能取的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型随机变量。设二维随机变量（X，Y）所有可能取的值为,2,1,),,(jiyxji记作,2,1,,},{jipyYxXPijji则由概率的定义有1110ijijijpp我们称,2,1,,},{jipyYxXPijji为二维随机变量（X，Y）的概率分布。三、二维连续型随机变量与一维随机变量相似，对于二维随机变量（X，Y）的分布函数),(yxF，如果存在非负函数),(yxf使对于任意yx,有dudvvufyxFyx),(),(则称（X，Y）是二维连续型随机变量，函数),(yxf称为二维连续型随机变量（X，Y）概率密度。按照定义概率密度),(yxf具有以下性质：1、0),(yxf2、1),(dxdyyxf3、若),(yxf在点),(yx连续，则有),(),(yxfyxyxF4、设G是xoy平面上的一个域，点（X，Y）落在G内的概率为GdxdyyxfGYXP),(}),{(2边缘分布定义:二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数),(yxF。而二维随机变量（X，Y）的两个分量X和Y都是一维随机变量，它们各自有分布函数。将它们分别记为)(,)(yFxFYX依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。对于离散型随机变量，可得：xxjijXipxFxF1),()(知道X的分布律为,2,1)(1ipxXPjiji同样，Y的分布律为,2,1)(1jpyYPiijj记,2,1)(1ixXPppijiji,2,1)(1jyYPppjiijj分别称),2,1(ipi和),2,1(jpj为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。对于连续型随机变量（X，Y），设它的概率密度为),(yxf，由xXdxdyyxfxFxF]),([),()(知道，X是一个连续型随机变量，其概率密度为dyyxfxfX),()(同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为dxyxfyfY),()(分别称)(),(yfxfYX为（X，Y）关于X和关于Y的边缘概率密度。3相互独立的随机变量定义：设),(yxF及)(),(yFxFYX分别是二维随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数。若对于所有yx,有}{}{},{yYPxXPyYxXP即)()(),(yFxFyxFYX则称随机变量X和Y是相互独立的。