第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程

第8讲函数与方程1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2．利用函数零点求解参数的取值范围．3．利用二分法求方程的近似解．【复习指导】(1)准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与x轴的交点，三者之间的区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值，根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；(2)灵活运用函数图象，将函数零点转化为两个函数图象的交点，注重数形结合思想的应用．基础梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布根的分布(m＜n＜p为常数)图象满足条件x1＜x2＜mΔ＞0－b2a＜mfm＞0m＜x1＜x2Δ＞0－b2a＞mfm＞0x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜x2＜nΔ＞0m＜－b2a＜nfm＞0fn＞0m＜x1＜n＜x2＜pfm＞0fn＜0fp＞0只有一根在(m，n)之间Δ＝0m＜－b2a＜n或f(m)·f(n)＜03.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．双基自测1．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.答案C2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()．A．至少有一个B．至多有一个C．有且只有一个D．可能有无数个答案B3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()．A．①②B．①③C．①④D．③④答案B4．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()．A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34解析因为f14＝e14＋4×14－3＝e14－2＜0，f12＝e12＋4×12－3＝e12－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为14，12.答案C5．(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)0，即a(a＋2)0，解得－2a0.答案(－2,0)考向一函数零点与零点个数的判断【例1】►(2010·福建)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为()．A．3B．2C．7D．0[审题视点]函数零点的个数⇔f(x)＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．解析法一由f(x)＝0得x≤0，x2＋2x－3＝0或x＞0，－2＋lnx＝0，解得x＝－3，或x＝e2.因此函数f(x)共有两个零点．法二函数f(x)的图象如图所示可观察函数f(x)共有两个零点．答案B对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．【训练1】函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间()．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析法一函数f(x)＝log3x＋x－3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴函数f(x)＝log3x＋x－3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内．法二方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同一坐标系中作出y＝log3x和y＝3－x的图象如图所示，可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内．答案C考向二有关二次函数的零点问题【例2】►是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．[审题视点]可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验．解∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9a－892＋89＞0∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a＜－15或a＞1.解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练2】关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解解设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)＝4(a－2)(a＋1)．(1)由已知条件Δ0，x1＋x2＝2a＞0，x1·x2＝a＋2＞0，解得a2.(2)由已知条件Δ0，1a3，f10，f30，解得2a115.(3)由已知条件f(2)0，解得a2.(4)由已知条件f(1)f(3)0解得115a3.检验：当f(3)＝0，a＝115时，方程的两解为x＝75，x＝3，当f(1)＝0，即a＝3时，方程的两解为x＝1，x＝5，可知115≤a3.当Δ＝0，1a3⇒a＝2.即a＝2时f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2方程的解x1＝x2＝2∴a＝2，综上有a＝2或115≤a3.考向三函数零点性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋e2x(x0，其中e表示自然对数的底数)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．分析：(1)可结合图象也可解方程求之．(2)利用图象求解．[审题视点]画出函数图象，利用数形结合法求函数范围．解(1)法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0等价于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.故当t－1＋e22e，即t－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解．【训练3】已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a的取值范围；(2)若a＝3217，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．解(1)若a＝0，则f(x)＝－4与题意不符，∴a≠0，∴f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，∴1＜a＜2.(2)若a＝3217，则f(x)＝3217x3－6417x＋2817，∴f(－1)＞0，f(1)＜0，f(0)＝2817＞0，∴零点在(0,1)上，又f12＝0，∴f(x)＝0的根为12.难点突破6——如何利用图象求解函数零点问题数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题，利用函数图象判断方程是否有解，有多少个解是常见常考的题型，数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图象交点的个数．一、判定函数零点的个数【示例】►(2011·陕西)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点二、判断零点的范围【示例】►(2011·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.