第二节TOPSIS法

第二节TOPSIS法多属性决策问题广泛地存在于社会、经济、管理等各个领域中，如投资决策、项目评估、质量评估、方案优选、企业选址、资源分配、科研成果评价、人员考评。决策者要从具有多个属性的一组备选方案中进行选择，其目的是要从多个备选方案中选择一个相对最优的方案，使该方案的各个属性能最大程度地达到决策者满意。属性是指“目标”或“指标”，上述各个备选方案通常都具有多个属性，而各个属性一般具有不同的单位，各个属性之间还有可能存在冲突。多属性决策往往只含有有限个预先制定的方案。满意方案的最后抉择与产生最后决策的属性满足程度有关，最终方案的选择在属性内进行判断与比较完成。多属性决策概述1、多属性决策概述经典多属性决策问题可以描述为：给定一组可能的备选方案mxxxX,...,,21，对于每个方案ix，都需要从若干个属性nuuuU,...,,21（每个属性代表不同的评价准则）去对其进行综合评价。决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者达到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。多属性决策问题具有以下四个特点；（1）决策问题的目标及目标属性不只一个。例如，一个企业在经营过程中不仅要考虑产量尽可能多，还要考虑成本、产品性能等多个目标及目标属性。（2）多属性决策问题的目标间不可公度，即各目标没有统一的计量单位或者衡量标准，因此难以进行比较。例如：本科生可以用学分或绩点来考核其在校期间的学习情况，发电厂可以用年发电量（亿度／年）或装机容量（万千瓦）来描述其发电能力，这两者是没有统一标准的，即不可公度。而某个集装箱的大小只能用容积（立方米）来表述，投资的多少则应该用货币（万元）表示，这两个是有统一标准的，即可公度。（3）各目标间的矛盾性。如果多属性决策问题中，存在一个备选方案能使所有目标都达到最优，也就是说存在最优解，那么目标间的不可公度性就不成问题了，但是这种情况很少出现。换言之，大量存在的现象是各属性之间存在着某种矛盾，即存在着冲突——当采用一种方案改进某一个目标值的同时，很可能使另一个目标值不能够得到改善，甚至会使这个目标值变差。例如，某化工企业想拓展业务领域，意图收购某机械厂，但是拓展领域的同时可能会给企业短期效益带来损害，而且如果收购后经营不善很可能导致企业的亏损甚至倒闭。（4）决策者的偏好不同导致决策结果不同。不同的决策者对同一个决策问题会有不同的看法，决策的结果也就有所不同。所谓仁者见仁智者见智。2、求解多属性决策问题的准备工作在介绍各种求解多属性决策问题的具体方法之前，我们先要介绍求解的前期准备工作，包括决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。多属性决策的解题步骤第一步是提出问题。这时对所要面临的问题的认识是主观而含糊的，所提出的目标也是高度概括的。第二步是明确问题。这时要使目标具体化，要确定衡量各目标达到程度的标准即属性和属性值的可获得性，并且要清楚地说明问题的边界与环境。第三步是构造模型。要选择决策模型的形式，确定关键变量以及这些变量之间的逻辑关系，估计各种参数，并在上述工作的基础上产生各种备选方案。第四步是评价优化。要利用模型并根据主观判断，采集或标定各备选方案的各属性值，并根据决策规则进行排序或优化。第五步是根据上述评价结果，择优付诸实施。以上各步骤的顺序进行只是一种理想的多准则决策流程，从第三步开始，就有可能需要返回前面的策一步进行必要的调整，甚至从头开始。决策问题愈复杂，反复的可能性就愈大，重复的次数也愈多。3、决策矩阵对于多属性决策问题，设可供选择的方案集为mxxxX,...,,21；用tntttyyyY,...,,21表示方案ix的n个属性值；当目标函数为jf时，njmixfyijij,...,1;,...,1),(。各方案的属性值可列成决策矩阵或属性矩阵、属性表。该表提供了分析决策问题所需的基本信息，各种数据的预处理和求解方法都以此作为分析的基础。决策矩阵mnmjmminijiinjnjyyyxyyyxyyyxyyy............................................................11111111例设某连锁快餐店在某地区现有6个分店，由于无法完全满足该地区用餐、送餐需求，需要扩建其中的一个分店。在扩建时既要满足就近送餐的要求，又要使扩建的费用尽可能小。经过调研，获得如表所示的决策矩阵。连锁店序号费用（万元）平均送餐距离（km）1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例为了客观地评价某城市5个街区，监管部门组织了一次评估，选择其中一个作为示范性街区。由于所评价的街区包括商业街、小型工业园区、城市绿化用地、文化娱乐街、住宅区等，所以有关部门收集了一些数据作为评价标准。对于评选示范性街区，不是单凭绿化面积大或者税收收入多就能当选的，而是要综合考虑各街区的各个属性指标。表中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的四种典型属性和经过调整了的数据。住宅商品房面积（百万平米）人均绿地面积（平米/人）街区税收（万元/年）交通事故死亡率（%）10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.950.822841.24数据预处理数据预处理又称属性值的规范化，主要有如下三个作用（要求）：第一，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如人均绿地面积、税收等，称为效益型指标；有些指标的值越小越好，如扩建分店的费用、平均送餐距离等，称为成本型指标。另有一些指标的属性值，既非效益型又非成本型例如表中示范性街区的评估中的人均绿地面积，街区绿地面积并不是像城市绿地面积那样越大越好，否则远郊甚至山区就会毋庸置疑的成为示范区了。一个街区所指的是城市里的一条街或者一个小区，其经济贡献的大小往往不容忽视。人均绿地面积过大说明该街区的土地利用率过低，对经济发展贡献较小，而且无人区过大往往会成为暴力犯罪高发场所，治安管理难度较大；人均绿地面积过小则居住过于拥挤，人口密集，居民生活质量较差，商业、工业等较少，财政收入很低。这几类属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越好的方案经过变换后其属性值越大。第二，非量纲化。多属性决策与评估的困难之一是目标间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数的单位（量纲）都不相同。即使对同一属性，采用不同的单位计量，表中的数值就会不同。在用多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非量纲化，或者说是设法消去（而不是简单删除）量纲，即仅用数值的大小来反映属性值的优劣。第三，归一化。属性值表中不同属性的属性值的数值大小差别很大。如街区税收即使已经以万元为单位，其数量级还是成百上千。而在住宅商品房面积、交通事故死亡率的数量级是个位数或小数。为了直观，更为了便于采用各种多属性决策方法进行评价，需要把属性值表中的数值进行归一化，即把表中数均变换成0~1的区间上。在大部分情况下，数据预处理的本质是要给出某个属性的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值。下面我们介绍几种常用的数据预处理方法。（1）线性变换原始的决策矩阵记为)(ijyY，变换后的决策矩阵记为njmizZij,...,1;,...,1),(。设maxjy是决策矩阵中第j列中的最大值，minjy是决策矩阵中第j列中的最小值。若j为效益型属性，则max/jijijyyz若j为成本型属性，则min/1jijijyyz成本型属性也可以用下式进行变换ijjyyzij/min'对上述街区选择问题经过线性变换后的属性值表为)(11yz)(22yz)(33yz)(44yz10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000（1）标准0-1变换对上述变换，属性值进行线性变换后，若属性j的最优值为1，则最差值一般不为0；若最差值为0，最优值就往往不为1.为了使每个属性变换后的最优值为1,且最差值为0，可以进行标准0-1变换。对j为效益型属性时，令minmaxminjjijijyyyyzj对j为成本属性时，令minmaxmaxjjijijyyyyzj（3）最优值为给定区间时的变换有些属性既非效益型又非成本型，即不是太大或者太小都不好，如人均绿地面积。显然这种属性不能采用前面介绍的两种方法处理。设给定的最优属性区间为],[*0jjyy，jjyy,分别为无法容忍下限和上限，则：其它若若若0)/()(11)/()(1****000jijjjjjijjijjojijjjjijjijyyyyyyyyyyyyyyyyyz假设示范性街区最优的人均绿地面积为区间[5,6]。则最优街区属性2的数据处理结果为：人均绿地面积2y2z151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000（4）向量规范化无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化都用下式进行：miijijijyyz12这种变化也是线性的，但是它与前面介绍的三种变化不同，单从它变换后的属性值的大小无法分别属性的优劣，它的特点是规范化后，各方案的各属性值的平方和为1。)(11yz)(22yz)(33yz)(44yz10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.53780.444450.96950.03980.16550.0000（5）原始数据的统计处理有些时候某目标的方案属性值往往相差极大，或者由于某种特殊原因只有某个方案属性特别突出。如果按一般方法对这些数据进行预处理，该方案属性在评价中将被不适当地夸大。如表3-1-5所示的评估问题，街区5的第一属性值远大于其他方案，若不作适当处理，会使整个评估结果发生扭曲。为此可以采用统计平均方法。具体做法有多种方式，其中之一是设定一个百分制平均值M，将方案集x中各方案该属性的均值定位于M，再用下式进行变换：MMyyyyzjjjijij)00.1(max其中miijjymy11是各方案属性j的均值，m为方案个数，M的取值可在0.5-0.75之间。也可以由多种变形，如：75.0/)(1.0'jjijyyzij其中j为方案集X中各方案关于指标j的属性值的均方差，当高端均方差大于j5.2时变换后的均值为1.00.（6）数量化在进行定性比较时，各对方案间的属性值应该比较接近，否则定性定量分析没有多大意义。如果个别情况下属性值之间相差过大时，应该把“过大的”分解、“过小的”聚合。当比较的属性值比较接近时，通常人们的判断习惯用相等（当）、较好、好、很好和最好这类语言表达，类似地有较差、差、很差和最差共9个定性等级。心理学家G.A.Miller经过试验表明，在某个属性上对若干个不同物体进行辨别时，普通人能够正确区别的等级在5级至9级之间。所以，推荐定性属性量化等级取5至9级，可能时尽量用9个等级。定性属性必然由于关系错综复杂，才不能形式化，所以通过人的比较判断得到的量化值，大多用于序数标度，任何单调变换都是允许的保序变换，少数情况能达到区间标度，亦可以进行任何的线性变换。因此量化后的数值范围取在实数轴的任一个区间均可，为了习惯与方便，推荐取0~10间的整数，其对应关系如表3-1-11所示。极端值0和10通常不用，留给极特殊的情况使用。5、TOPSIS方法TOPSIS的全称是“逼近于理想值的排序方法”(TechniqueforOrderPreferencebvSimilaritytoIdea