第二节二重积分的计算

第二节二重积分的计算教学目的：使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法教学重点：将二重积分化为二次积分教学过程：一、利用直角坐标计算二重积分先介绍区域的表示：X型区域D1(x)y2(x)axbY型区域D1(x)y2(x)cyd混合型区域设f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}此时二重积分dyxfD),(在几何上表示以曲面zf(xy)为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积对于x0[ab]曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0)2(x0)]为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为)()(000201),()(xxdyyxfxA根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为badxxAV)(dxdyyxfbaxx]),([)()(21即VdxdyyxfdyxfbaxxD]),([),()()(21可记为baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(类似地如果区域D为Y型区域D1(x)y2(x)cyd则有dcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例1计算dxyD其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域解画出区域D方法一可把D看成是X型区域1x21yx于是211][xDdxxydydxy2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx注积分还可以写成211211xxDydyxdxxydydxdxy解法2也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是212][yDdyxydxdxy2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy例2计算dyxyD221其中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域解画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是122112211xDdyyxydxdyxy1131112322)1|(|31])1[(31dxxdxyxx21)1(32103dxx也可D看成是Y型区域:1y11xy于是111222211yDdxyxydydyxy例3计算dxyD其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域解积分区域可以表示为DD1+D2其中xyxxD,10:1xyxD2,41:2于是41210xxxxDxydydxxydydxdxy积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是2122yyDxydxdydxy21222]2[dyyxyy2152])2([21dyyyy855]62344[21216234yyyy讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22及x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)|0y22xR,0x}为底以22xRz顶的曲顶柱体于是dxRVD228RxRdyxRdx0022228RxRdxyxR002222][83022316)(8RdxxRR二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分dyxfD),(按二重积分的定义iniiiDfdyxf10),(lim),(下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为iiiiii2221)(21iiii)2(21iiiii2)(iii其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点),(ii设其直角坐标为(ii)则有iiicosiiisin于是iiniiiiiiiniiiff1010)sin,cos(lim),(lim即ddfdyxfDD)sin,cos(),(若积分区域D可表示为1()2()则dfdddfD)()(21)sin,cos()sin,cos(讨论区域如下图如何确定积分限?dfdddfD)(0)sin,cos()sin,cos(dfdddfD)(020)sin,cos()sin,cos(例5计算Dyxdxdye22其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中闭区域D可表示为0a02于是DDyxddedxdye222deddeaa020200]21[][22)1()1(212220aaede注此处积分Dyxdxdye22也常写成22222ayxyxdxdye利用)1(222222aayxyxedxdye计算广义积分dxex20设D1{(xy)|x2y2R2x0y0}D2{(xy)|x2y22R2x0y0}S{(xy)|0xR0yR}显然D1SD2由于022yxe从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式22222122DyxSyxDyxdxdyedxdyedxdye因为2000)(22222RxRyRxSyxdxedyedxedxdye又应用上面已得的结果有)1(42122RDyxedxdye)1(422222RDyxedxdye于是上面的不等式可写成)1(4)()1(4222220RRxRedxee令R上式两端趋于同一极限4从而220dxex例6求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍DdxdyyxaV22244其中D为半圆周22xaxy及x轴所围成的闭区域在极坐标系中D可表示为02acos20于是20cos2022224444aDdadddaV)322(332)sin1(33222032ada