第二节二重积分的计算法

第二节二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分fxydD(,)的计算问题.讨论中,我们假定fxy(,)0；假定积分区域D可用不等式axbxyx12()()表示,其中1()x,2()x在[,]ab上连续.据二重积分的几何意义可知,fxydD(,)的值等于以D为底,以曲面zfxy(,)为顶的曲顶柱体的体积.在区间[,]ab上任意取定一个点x0,作平行于yoz面的平面xx0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]1020xx为底,曲线zfxy(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为Axfxydyxx()(,)()()001020一般地,过区间[,]ab上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为Axfxydyxx()(,)()()12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为VAxadxfxydydxbxxab()(,)()()12从而有dxdyyxfdyxfbaxxD)(2)(1),(),((1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(1x到)(2x的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数)再对x从a到b计算定积分.这个先对y,后对x的二次积分也常记作fxyddxfxydyDabxx(,)(,)()()12在上述讨论中,假定了0),(yxf，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(yxf(在D上连续),公式(1)总是成立的.例如:计算IxdDxyxyD(){(,)|,}111022解:dxyxdyxdxI2011220211)1()1(38322)1(2113112xxdxx类似地,如果积分区域D可以用下述不等式cydyxy,()()12表示,且函数1()y,2()y在[,]cd上连续,fxy(,)在D上连续,则fxydfxydxdydyfxydxDyycdcdyy(,)(,)(,)()()()()1212(2)显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法.画出积分区域D的图形(假设的图形如下)在],[ba上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点))(,(1xx与))(,(2xx,这里的)(1x、)(2x就是将x,看作常数而对y积分时的下限和上限；又因x是在区间[,]ab上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、上限为b.例1计算322xydD,其中D是由x轴,y轴和抛物线yx12在第一象限内所围成的区域.类似地,Dyxy:,0101xydyyydyy320101322011()3322012201xyddyxydxDy令ytttdtsincossin()!!()!!!!24502224151916315例2计算xydD,其中D是由抛物线yx2及直线yx2所围成的区域.Dyyxy:,1222xyddyxydxxydyDyyyy122212222121224582512yyydy()例3求由曲面zxy222及zxy6222所围成的立体的体积.解:1、作出该立体的简图,并确定它在xoy面上的投影区域消去变量z得一垂直于xoy面的柱面xy222,立体镶嵌在其中,立体在xoy面的投影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域Dxy:2222、列出体积计算的表达式VxyxydD[()()]6222222()63323xydD3、配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算VdxdydDDD63322而dD2由x,y的对称性有xdydDD22xdxdxdyxxdxDxx22222222222222424422022202xxdxsincos162121222()!!()!!()!!1611422所求立体的体积为V1266二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有fxydfDiiiin(,)lim(,)01现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆r常数以及从极点出发的一族射线常数,将D剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域i的面积可如下计算iiiiiiiiiirrrrrr)2(2121)(2122iiiiiiiirrrrrr2)(其中,ri表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明:包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,因此,这样的一些小区域可以略去不计)在小区域i上取点(,)rii,设该点直角坐标为(,)ii,据直角坐标与极坐标的关系有iiiiiirrcos,sin于是lim(,)lim(cos,sin)0101ffrrrriiiininiiiiiii即fxydfrrrdrdDD(,)(cos,sin)由于fxydD(,)也常记作fxydxdyD(,),因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式fxydxdyfrrrdrdDD(,)(cos,sin)(1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrd就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:xrcosyrsindxdyrdrdfxydxdyD(,)frrrdrdD(cos,sin)2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分,同样可以化归为二次积分来计算.【情形一】积分区域D可表示成下述形式12()()r其中函数1(),2()在[,]上连续.则frrrdrddfrrrdrD(cos,sin)(cos,sin)()()12【情形二】积分区域D为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式10()(即极点在积分区域的边界上).故frrrdrddfrrrdrD(cos,sin)(cos,sin)()0【情形三】积分区域D为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形(极点包围在积分区域D的内部),D可剖分成D1与D2,而DrDr120020:,():,()故Dr:,()020则frrrdrddfrrrdrD(cos,sin)(cos,sin)()020由上面的讨论不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其关键之处在于:将积分区域D用极坐标变量r,表示成如下形式,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.例4将下列区域用极坐标变量表示1、Dxyy1222:2、DRxRRyRRx222:,Dxy31:先画出区域的简图,据图确定极角的最大变化范围[,]；再过[,]内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围[(),()]12.注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分Iedxx20.而被积函数满足022yxe,从而以下不等式22222122DyxSyxDyxdxdyedxdyedxdye成立，再利用例二的结果有)1(42122RDyxedxdye,)1(422222RDyxedxdye,RyRxRyxRSyxdyedxedyedxdxdye000022222220000022222RxRxRxRyRxdxedxedxedyedxe于是不等式可改写成下述形式441414222022RRxRRReedxe()()故当R时有edxx2024,即Iedxx202.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含()xy22,为实数).例6计算Idxdyxyaxyaaxaax0222224022()()解此积分区域为Dxaxyaax:,022区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为Dra:,sin4002IrdrdrarddrarradDaa442224022020240sinsinarcsin()d4024021232小结二重积分计算公式直角坐标系下Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(X—型dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(Y—型极坐标系下Ddrrrfdrdrdrrf)()(21)sin,cos()sin,cos(作业教材P161习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）