第二节同角三角函数的关系式及诱导公式

综合高中高三数学学案第二节同角三角函数的关系式及诱导公式初稿卢福明审定知识点解析1.同角三角函数的基本关系(1)倒数关系：tanα·cotα=1;(2)商数关系：cossin=tanα;sincos=cotα;(3)平方关系：sin2α+cos2α=12.三角函数的诱导公式（如下表）角函数正弦余弦-α-sinαcosαπ±αsinα-cosα2π±α±sinαcosα2±αcosαsinα23±α-cosα±sinα【说明】(1)在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式.(2)同角三角函数的三个关系式.sin2α+cos2α=1,cossin=tanα和tanα·cotα=1,它们在计算、化简和证明中应用极为广泛,应熟练地掌握其等价形式,即sinα=cosα·tanα;cosα=tansin；sin2α=1-cos2α；cos2α=1-sin2α;tanα=cot1,并能灵活应用这些公式.(3)同角三角函数的关系式的基本用途:根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值(当然用三角函数的定义求解会更方便);化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.(4)两套诱导公式可概括为k·90°+α(k∈Z)的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，“奇变偶不变，符号看象限”.(5)诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函数，因此，常用于求值和化简.3.求任意角的三角函数步骤：[任意负角的三角函数)(化负角为正角去负任意正角的三角函数)360(k脱去脱周0°到360°的三角函数)(把角化为锐角化锐锐角三角函数即：负变正，大化小，诱导公式变锐角.4.同角三角函数式和诱导公式的应用——求值、化简、证明(1)已知一个角的某个三角函数值，求该角的其它三角函数值.②已知一个角的一个三角函数值，但该角的象限没有给出，解题时首先要根据已知的三③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.（2①项数尽量少；②函数种类尽量少；③次数尽量低；④尽量不含分母；⑤尽量不带根号；⑥能求出值，求出数值.（3①化繁为简：从一边开始证得它等于另一边.②左、右同一：证明左、右两边都等于同一个式子（或值）.③变换结论：即改证与其等价的结论.【说明】(1)“1”的代换.为了解题的需要，有时可以将1用sin2α+cos2α去代替.(2)切化弦.利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数，在三角函数的变换过程中，往往利于发现等式两边的关系或使式子简化，但有时也需要化弦为切的变换.(3)整体代换.将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.(4)充分应用代数公式.如a3±b3=(a±b)(a2ab+b2),或(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3.题型一：诱导公式［例1］：sin(414nπ-α)+cos(414nπ-α)(n∈Z).练习：)sin()cot()23tan()2cos()sin()(f(1)化简f(α);(2)若cos(α-23)=51,求f(α)题型二：已知角的一个三角函数值，求角的其它三角函数值［例2］：(1)已知cotα=-3,且α∈(23,2π),求角α的其他三角函数值.(2)已知cotα=-3，求sinα,cosα的值.(3)已知cosα=m,(|m|1),求角α的其他三角函数值.练习：已知1tantan=-1,(1)cossincos3sin;(2)sin2α+sinαcosα+2.题型三：sinθ±cosθ与sinθ、cos［例3］：．（2012年高考（辽宁））已知sincos2,(0,π),则tan=A．1B．22C．22D．1练习：（1）（2012年高考（大纲））已知为第二象限角,3sincos3,则cos2（A．53B．59C．59D．53（2）（2011辽宁）设sin1+=43（），则sin2（A）79（B）19（C）19（D）79［例4］：(sin1sin1-sin1sin1)×(1sec1sec-1sec1sec).练习：当x≠2k（k∈Z）时，xxxxcotcostansin的值（A.恒为正B.C.恒为非负D.方法小结1.在已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中的角的范围，需要时并就不同象限分别求出相应的值.2.在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦，但在某些特殊问题中就不要化切割为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁，如“求证cottancottan=tanαcotβ”,利用倒数关系可得简证.3.要特别注意sinα±cosα,sinαcosα,tanα+cotα之间的互相转化.综合高中高三数学课时练第二节同角三角函数的关系式及诱导公式初稿卢福明审定1.(衡水中学2010上学期期中考试)已知)0,(，31log)3tan(aa，则)23cos(的值为A.1010B.1010C.10103D.-3102.已知锐角α终边上一点的坐标为（2sin3，-2cos3），则角α的弧度数为（A.3B.-3C.3-2D.2-33.若f(cosx)=cos3x,则f(sin30°)的值为（A.0B.1C.-1D.234.设0＜α＜π,sinα+cosα=137,则tan1tan1的值是（A.717B.177C.-717D.-1775.已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα＝32，则这个三角形的形状是（A.锐角三角形B.C.非等腰直角三角形D.等腰直角三角形6.【2012高考江西】若sincos1sincos2，则tan2α=A.-34B.34C.-43D.437.已知θ是第二象限角，且sin(2+2)=31,则2sin2cos2cos2sin21的值是（A.1B.-1C.±1D.8.（石家庄二中2010阶段验收（二））定义在R上的偶函数)(xfy，满足)()1(xfxf，且在]2,3[上是减函数，若，是若角三角形的两个内角，则A．)(sin)(sinffB．)(cos)(cosffC．)(cos)(sinffD．)(cos)(sinff9.（2011重庆）已知1sincos2，且0,2，则cos2sin4的值为.10.若1+sin2θ=3sinθcosθ,则tanθ=.11已知tan1tan1=3+22,cossincot1)cos(sin2=.12.已知：cos(75°+α)=31,α是第三象限角，则cos(15°-α)+sin(α-15°)的值为.答案：1—45—8910111213.(1)已知cos(6-θ)=a(|a|≤1),cos(65+θ)+sin(32-θ)的值.(2)已知tan(π-α)=a2,|cos(π-α)|=-cosα,求sec(π+α)的值.(3)已知sin(α-5)=a(a≠±1,且a≠0),求cos(α+514π)·tan(α-511π)+)526cos()59tan(的值.14.若tanθ=aa1(其中0＜a＜1)，化简cossin2a+cossin2a.