第二节命题及逻辑联结词

第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x；②你是高三的学生吗？③315；④536x．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表示为pq若则，逆否命题可表示为qp若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．3.有下列命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②“若0xy，则0xy”的逆命题；③“若0x，则20x”的否命题；④“若方程20axbxc有两个不相等的实根，则0ac”的逆否命题．其中真命题的序号有____①④____．4.有下列命题：①2,2340xRxx；②{1,0,1},210xx；③2,xNxx使；④*,29xNx使为的约数．其中真命题的序号有___①③④___．5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___．6.命题“若0ab，则a，b至少有一个为零”的逆否命题是．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设,,,abcdR，若,abcd，则acbd.分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；假命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其对边不相等；假命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；假命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；假命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,abcdR，若,abcd，则acbd；真命题；若0a且0b，则0ab逆命题：设,,,abcdR，若acbd，则,abcd；假命题；否命题：设,,,abcdR，若ab或cd，则acbd；假命题；逆否命题：设,,,abcdR，若acbd，则ab或cd；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程210xx的两实根的符号相同，q：方程210xx的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210xx的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p且q：方程210xx的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p：方程210xx的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()xMpx”的否定是“,()xMpx”，特称命题“,()xMpx”的否定是“,()xMpx”.解：（1）p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）p：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语等于大于小于是都是否定词语不等于不大于不小于不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的…否定词语至少有两个一个也没有某个某些…例4.已知0c且1c，设:p函数(21)xycc在R上为减函数，:q不等式2(2)1xxc的解集为R.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数c的取值范围.分析：由p，q为真求出c的取值范围，结合“p或q”为真命题，“p且q”为假命题得出p，q一真一假，从而得出c的取值范围.解：当p为真时，函数(21)xycc在R上为减函数，210,1,cc或210,01.cc得11.2c当q为真时，不等式2(2)1xxc的解集为R，即xR时，22(41)(41)0xcxc恒成立.22(41)4(41)0cc，得58c.“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，当p为真q为假时，11,25.8cc解得1528c.当p为假q为真时，101,25.8ccc或解得1c.综上所述，实数c的取值范围是15(,](1,)28.点评：由条件分析得到p，q一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求c的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错.【反馈演练】1．命题“若aM，则bM”的逆否命题是__________________.2．已知命题p：1sin,xRx，则:p,sin1xRx.3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.若bM，则aM4．已知下列四个命题：①“若1xy，则,xy互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若1m，则方程220xxm有实根”的逆否命题；④“若ABB，则AB”的逆否命题．其中真命题的是____①②③____.5．已知全集UR，AU，若命题:3pAB，则p：3()()UUAB痧.6．命题“若ba，则122ba”的否命题为________________________．7．命题“四边形的内角中至少有一个不大于90°”，下列命题中：①假设四内角都不大于90°；②假设四内角都大于90°；③假设四内角中至多有一个大于90°；④假设四内角中至多有三个大于90°．其中正确的命题的否定有_____________．8．命题:p方程210xmx有两个不相等的实根，命题:q方程244(2)10xmx无实根，若pq为真，pq为假，则实数m的取值范围_________．9．设A，B为两个集合，下列四个命题：①AB对任意xA，有xB；②ABAB；③ABBA④AB存在xA，使得xB．其中真命题的序号有．10．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,abR，若0ab，则0a或0b；（2）设,abR，若0,0ab，则0ab．解：（1）逆命题：设,abR，若0a或0b，则0ab；真命题；否命题：设,abR，若0ab，则0a且0b；真命题；逆否命题：设,abR，若0a且0b，则0ab；真命题；（2）逆命题：设,abR，若0ab，则0,0ab；假命题；否命题：设,abR，若0a或0b，则0ab；假命题；逆否命题：设,abR，若0ab，则0a或0b；真命题．11．设命题p：函数3()()2xfxa是R上的减函数，命题q：2()43fxxx在[0,]a上的值域为[1,3]，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．解：由3012a得3522a，又22()43(2)1fxxxx，在[0,]a上的值域为[1,3]，得24a．又“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，当p为真q为假时，解得322a.(,2)(1,2][3,)②④若ab，则221ab当p为假q为真时，解得542a.综上所述，a的取值范围为35(,2)[,4]22.12．已知命题()rx：xR，都有sinxm，命题()sx：xR，210xmx.若()rx为假命题且()sx为真命题，求实数m的取值范围.解：当()rx为真命题时，则1m，故()rx为假命题时，得1m.当()sx为真命题时，0即240m，则2m或2m.综上，可知[1,2][2,)m.