0110第五章连续交通流模型

第五章连续交通流模型1、守恒方程2、动态模型3、交通波理论4、小结第一节守恒方程一、守恒方程的建立考察一个单向连续路段，在该路段上选择两个交通记数站，如图所示，该站点之间没有入口和出口。Ni：为Δt时间内通过i站的车辆数；qi：是通过站i的的流量；Δt：1、2站同时开始记数所持续的时间。ΔN：ΔN=N2-N1有如下公式：第一节守恒方程如果Δx足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量Δk可表示为：负号－：如果（N2-N10），说明两站之间的车辆数减少，即密度减小。根据上公式可得到：根据流量关系有：可以推导出：第一节守恒方程进一步推导出：假设两站间车流连续：该式描述了交通流的守恒定律，即守恒方程或连续方程。第一节守恒方程如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下的形式：指车辆的产生（或）离去率，即单位长度、单位时间内车辆的产生或离去数。第一节守恒方程二、守恒方程的解析解法为了对方程进行求解，把流率q当作密度k的函数：q=g(k)，速度u=f(k)在平衡态时候可以有上面的假设。根据公式：则守恒方程就可以变成只有一个未知量的方程，可以对其求解。而且为了简化只考虑没有交通量产生和离去的影响，可以得到如下的公式：第一节守恒方程f(k)为任意函数，可用格林希尔治速度—密度线性模型代入上式可以得到：一阶线性微分方程，可以通过特征曲线方法求其解析解。第二节动态模型一、交通流观测中的加速度●守恒方程里面：把速度看作是密度的函数●实际中，交通流的平均速度不能瞬时地跟随密度发生变化，而驾驶员总是根据前方密度来调整车速。设交通流的速度为u（是时间和地点的函数），由微分知识得到下面的式子：观测车随交通流行驶的加速度观测者在路边固定点所观测到的加速度第二节动态模型假设则有：则有：第二节动态模型由于：根据守恒方程：可以得到：uw是交通波的速度第二节动态模型交通波速度：代入上式第二节动态模型观测者在路边固定点所观测到的交通流的加速度公式可以写成：可以正、负或零第二节动态模型二、速度动态模型对于速度的调整，驾驶员要有一个反应过程，车辆本身的动力、传动装置都要有一个调整时间，车速的变化比前方Δx处密度的变化滞后一个时间τ，于是以有公式：上式左侧对τ，右侧对△x进行泰勒级数展开，并略去高阶项得到：第二节动态模型Δx的取值为：令：同时：代入前面公式，可得：连续形式的速度动态模型第二节动态模型对上面的公式进行差分处理（空间离散化），可以得到：λ为调整系数进一步进行时间离散化，可以得到：实用的速度动态模型道路交通流空间平均速度的动态变化第二节动态模型●上述模型对于车道数目单一，出入匝道无太大进出流量冲击的公路，能够较精确描述各种不同交通状况以及相互间的转变过程、常发性与偶发性交通拥挤现象的出现及消除过程。●但是在车道数有所改变或匝道流量较大情况下，需要对模型进行修正。第三节交通波理论（1）瓶颈处的交通波现象第三节交通波理论一、交通波模型一条公路上两个相邻的不同交通流密度区域A和B，其分界线为S，S称为波阵面，其速度为uw假设A区域密度：k1B区域密度：k2u1区域A的交通流速度u2区域B的交通流速度ur1=u1-uw区域A的车辆相对于S的速度ur2=u2-uw区域B的车辆相对于S的速度第三节交通波理论根据守恒理论可以得到：时间t内通过界面S的车辆数目假设为N则有：进而可以得到：第三节交通波理论根据流量基本公式:可以得到：如果交通流率和密度变化很小波速的计算公式第三节交通波理论一般情况，在移动线S两侧的密度差别不是无限小，方程可以写成如下形式：该式说明速度uw在流量-密度曲线上是站1与站2之间弦的斜率。)/()(121122kkkukuuw第三节交通波理论二、交通波模型的意义交通波描述了两种交通状态的转化过程，uw代表了转化的方向和进程。uw0表示波面的运动方向与交通流的运动方向相同；uw=0表示波面维持在原地不动；uw0表示波面传播的方向与交通流的运动方向相反。第三节交通波理论图中的任何一点，其矢径表示交通速度，切线表示波速。图说明利用各种交通波来预示返回波的出现。左图是流量-密度曲线，右图是时间-距离图。在流量密度曲线上，点A表示交通流量正在接近通行能力，而速度则降到大大低于畅行速度，点B由于密度低，表示交通流处于较高的速度。点A和点B处的切线表示两种情况的波速。现在若假设点B较快的车流比点A的车流稍迟出现，点B波最终将会赶上点A的波，见右图。这两组波的交点有一斜率，它等于在流量密度曲线上连接这两点的弦，这一交点表示返回波的轨迹。第三节交通波理论1、k2k1且q2q1●此时传播的波为压缩波，由于uw0其传播方向由后向前。●波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相同的附加速度。●这相当于以较大的间距行驶的车队，后车催促前车依次不断加速逐步缩小间距的情况。●在实际的交通流中并不常见。第三节交通波理论2、k2k1且q2q1●此时传播的波也是压缩波，但由于uw0，其传播方向自前向后。●波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反附加速度(与波传播方向相同)。●这相当于车队中的头车减速或刹车，跟随车辆依次采取同样的行为，如车队驶近信号灯控制的交叉口红灯启亮的情况，●在实际的交通流中很常见。第三节交通波理论3、k2k1且q2q1●此时传播的波称为稀疏波，由于uw0，其传播方向自前向后。●波传过后，车队中的车辆获得了一个与波的传播方向相反的附加速度。●这相当于缓慢行驶的车队逐渐启动的情况。●在实际交通流中很常见。4、k2k1且q2q1●此时传播的波为稀疏波.由于uw0，其传播方向自后向前。●波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反(与波的传播方向也相反)的附加速度。●这相当于以一个较小间距行驶的车队，从队尾起各车辆依次减速，逐渐拉大距离的情况。●在实际交通流中并不常见。第三节交通波理论三、停车波和启动波1、模型的变化格林希尔治速度——密度模型：密度标准化：则有：由于交通波速度为：第三节交通波理论交通波速度公式变为：进一步换算为：第三节交通波理论2、停车波车队以u1速度行驶，遇到红灯停车，则此时k2=kj，则有：交通波速度为负，向后传播时间t后车辆排队长度为：第三节交通波理论3、启动波车辆启动，则：则有：则启动波速为：格林希尔治速度——密度模型第三节交通波理论由于u2较小，通uf相比可忽略不计，则排队等待车辆从开始启动就产生了启动波，而且该波以接近uf的速度向后传播。第三节交通波理论四、交通波理论的扩展应用●考虑三个相邻的交叉口信号对交通流的影响。●设三个交叉口的初始信息：▉信号的绿信比相同▉红灯时长均为tr▉忽略绿灯间隔时间▉周期长均为c▉绿灯起步时差为t0▉交叉口n与n-1间距离为x1▉交叉口n与n+1间的距离为x2▉交通流初始平均速度为u0▉排队车辆的起动速度为u▉初始时刻路段上的交通流处于平衡状态▉密度f（x）=k0设为常数，▉交又口n停车线位于x0处，▉t=0时刻信号由绿灯变为红灯第三节交通波理论1、交叉口车辆运行状况分析（1）车辆排队过程（研究交叉口n）●t=0，k(x,0)=f(x)=k0，路段上各处密度相等，为稀疏流。●当交叉口n信号变为红灯时，车队在交叉口n形成停车波，其波阵面记为S1，而已经驶出停车线的车辆继续以原有速度u0行驶。●在t=tr时刻，一列长度为x=ufVtr的车队停在x0之后形成排队，如图所示。第三节交通波理论（2）车队的消散过程（研究交叉口n）●在trtc时刻，交叉口n信号变为绿灯，交叉口n排队车辆启动，形成启动波，其波阵面记为s2。●起动波S2以速度uf沿交叉口n排队车辆从前向后传播，排队车辆以u的速度通过交叉口n●波传过后车队密度记为k1,，设Td为排队车辆完全消散时间(即车队开始起动),车队完全消散：启动波追上停车波第三节交通波理论①若Tdc-tr则排队车辆在一个周期内可以完全消散，否则车队在一个周期内将无法完全消散，记Ta为排队车辆完全通过交叉口n的时间，则有：排队车队排队车辆通过交叉口的速度第三节交通波理论②若Tac-tr则排队车辆在一个周期内可以完全通过交叉口n，否则排队车辆将在交叉口n处形成二次排队，此时该周期内可通过的车辆数为：滞留车辆数为：滞留车辆必须等待下一周期通过交叉口，若x1足够长，排队车辆可能出现三，四次排队。第三节交通波理论2、上游交叉口对下游交叉口的影响研究交叉口n和n＋1●0tt0，交叉口n＋1信号为绿灯，此时交叉口n为红灯信号，从n交叉口驶出的车辆以速度u0驶向n＋1交叉口●t0tt0+tr时，交叉口n＋1信号变为红灯，交叉口n变为绿灯的时间为t0▉若x2u0t0，则已驶出交叉口n的头车可顺利通过交叉口n＋1，不形成排队；▉若x2=u0t0，则驶出交叉口n的车辆将在下游交叉口n＋1处形成排队，而且0排队长度为：根据密度公式可以得到第三节交通波理论●交叉口n＋1排队车辆消散时间可计算如下：第三节交通波理论●在交叉口n停车线处排队的车辆在绿灯亮后对前车的追赶交叉口n停车线处车辆以u的速度通过交叉口n追赶前面的车辆▉若x2=u0t0，则前方车辆已经驶出n＋1交叉口，无法追上；设d为下游交叉口n＋1处排队车辆完全通过该交叉口前上游n交叉口追赶车辆的行驶距离，▉若x2=d，则在交叉口n＋1处排队的车辆完全通过该交叉口之前，交叉口n上一周期所释放的车辆可以追赶上该排队车辆的尾车；▉若x2d，在在交叉口n释放的车辆到达下游交叉口n＋1之前，在n＋1处排队的车辆已经释放完毕，无法追上。第三节交通波理论第三节交通波理论3、下游交叉口对上游交叉口的影响研究交叉口n和n-1●0t=tr时，停车波以ufη1的速度沿交叉口n处的排队车辆从前向后传播。●trt=c时，启动波s2以速度uf沿交叉口n处排队车辆从前向后传播，因为us1us2，即启动波s2将在某一时刻追上停车波s1，该时刻即为交叉口n排队车辆消散时刻tr＋Td▉若x1ufη1（Td＋tr），且上游交叉口n－1在此方向上也为绿灯，则启动波在追上停车波之前，停车波已经延伸到上游交叉口n－1，即交叉口n－1排队车辆将堵塞交叉口n－1，此时若n－1发生灯色转换，则将产生所谓的“多米诺”现象，严重影响交通。第三节交通波理论