第二节对坐标的曲线积分

1第二节对坐标的曲线积分教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用教学重点：对坐标曲线积分的计算教学难点：对坐标曲线积分的计算教学时间：2课时教学过程：一、对坐标的曲线积分定义和性质1．引例变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B试求变力F(xy)所作的功将L分成n个小弧段L1L2Ln变力在Li上所作的功近似为F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yisi{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量，si表示si的模变力在L上所作的功近似为]),(),([1iiiniiiiyQxP变力在L上所作的功的精确值为]),(),([lim10iiiniiiiyQxPW其中是各小弧段长度的最大值2．对坐标的曲线积分定义定义设函数),(yxP，),(yxQ在有向光滑曲线L上有界把L分成n个有向小弧段L1L2Ln小弧段Li的起点为(xi1yi1)终点为(xiyi)xixixi1yiyiyi1(i)为Li上任意一点为各小弧段长度的最大值如果极限niiiixP10),(lim总存在则称此极限为函数),(yxP在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作LdxyxP),(即niiiiLxPdxyxP10),(lim),(2如果极限niiiiyQ10),(lim总存在则称此极限为函数),(yxQ在有向曲线L上对坐标y的曲线积分记作LdyyxQ),(即niiiiLyQdyyxQ10),(lim),(其中),(yxP，),(yxQ称为被积函数，L称为积分弧段，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分同样可以定义积分弧段为空间有向曲线弧的情形：niiiiiLxPdxzyxP10),,(lim),,(niiiiiLyQdyzyxQ10),,(lim),,(niiiiiLzRdzzyxR10),,(lim),,(常记dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPLLL),(),(),(),(dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(例如，变力F＝),(yxPi＋),(yxQj在L上所作的功为W＝LdyyxQdxyxP),(),(３．对坐标的曲线积分的存在性当),(yxP),(yxQ在有向光滑曲线弧L上连续时，对坐标的曲线积分LdxyxP),(，LdyyxQ),(都存在．４．对坐标的曲线积分的性质（１）L为有向曲线弧，L为L与方向相反的曲线，则LdxyxP),(=LdxyxP),(，LdyyxQ),(=LdyyxQ),(（２）设L=21LL，则LQdyPdx=1LQdyPdx+2LQdyPdx此性质可推广到L=nLLL21组成的曲线上．二、对坐标的曲线积分计算3定理设),(yxP，),(yxQ在L上有定义，且连续,L),(),(tytx的参数方程为当t单调地从变到时，点),(yxM从L的起点A沿L变到终点B，且)(),(tt在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则LdyyxQdxyxP),(),(存在，且LdyyxQdxyxP),(),(=dttttQtttP)}()](),([)()](),([{注意：为L起点对应参数，为L终点对应参数，不一定小于；思考：（１）若L由)(xyy给出，，终点为起点为L，则.LQdyPdx？提示.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxL（２）若空间曲线由参数方程：xt)y=(t)z(t)给出那么曲线积分dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(？提示dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,()()](),(),([{ttttPdtttttRttttQ)}()](),(),([)()](),(),([其中对应于的起点对应于的终点例1计算：Ldyyadxya)()2(L：摆线)sin(ttax，)cos1(tay从点)0,0(O到点)0,2(aB。解原式=dttataatataa]sin)cos1([)cos1()]cos1(2[20=dtttatata]sincos)cos1()cos1([220=)]sincos)cos1(22cos1[(2202dtttatataa=22022)sin212sin4121(attta2)()2(adyyadxyaL例2Ldyyxdxxy)(2L：（1）曲线2xy起点为)0,0(，终点为)1,1(.4（2）折线21LL起点为)0,0(，终点为)1,1(.解（1）原式=dxxxxx1024)]([=34（2）原式=21LL=1010xdxydy=1故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关图10-2-1例３计算ydzxdyzydxx2233其中是从点A(321)到点B(000)的直线段AB解直线AB的参数方程为x3ty2txtt从1变到0所以所以dttttttI01223]2)3(2)2(33)3[(48787013dtt例４设有一质量为m的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线从点A移动到点B，求重力所作的功。解：取水平直线为x轴，y轴铅直向上，则重力在两坐标轴上的投影分别为mgyxQyxP),(,0),(，这里g是重力加速度，于是，当质点从),(00yxA移动到点),(YXB时，图10-2-3重力所作的功为)()()(000YymgyYmgmgdydymgQdyPdxWyyABAB．这结果表明，这里重力所作的功与路径无关，而且仅取决于下降的距离．例６计算Ldxy2(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2(2)从点A(a0)沿x轴到点B(a0)的直线段解(1)L的参数方程为xacosyasin从0变到因此0222)sin(sindaadxyL023cos)cos1(da334a(2)L的方程为y0x从a变到a因此002aaLdxdxy三、两类曲线积分的关系设有向曲线弧L的起点A终点B取弧长AMs为曲线弧L的参数。ABl则)()(syysxxls0若)(),(sysx在上具有一阶连续导数，QP,在L上连续，则LQdyPdxoL1yxL2oAyxMBL5=dsdsdysysxQdsdxsysxPl})](),([)](),([{0图10-2-4=dssysxQsysxPl}sin)](),([cos)](),([{0其中dsdxcos，dsdysin是L的切线向量的方向余弦，且切线向量与L的方向一致，又dsQPL)sincos(=dssysxQsysxPl}sin)](),([cos)](),([{0∴LQdyPdx=dsQPL)sincos(类似地有dsRQPRdzQdyPdx]coscoscos[或dsAdsdttArA其中A{PQR}T{coscoscos}为有向曲线弧上点(xyz)处单位切向量drTds{dxdydz}At为向量A在向量t上的投影小结与思考：1.对坐标的曲线积分概念和性质(,)LPxydx(,)LQxydy01lim((,)(,))niiiiiiiPxQy2.对坐标的曲线积分的计算方法：化为定积分计算若平面曲线L的参数方程为：x(t)y=(t)z(t)LdyyxQdxyxP),(),(=dttttQtttP)}()](),([)()](),([{若空间曲线的参数方程为：x(t)y=(t)z(t)dzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,()()](),(),([{ttttPdtttttRttttQ)}()](),(),([)()](),(),([3.两类曲线积分的关系LQdyPdx=dsQPL)sincos(dsRQPRdzQdyPdx]coscoscos[4.[启发与讨论]计算22.Lxdyxydx，其中L为（1）抛物线2xy上从)0,0(O到)1,1(B一段弧。（2）抛物线2yx上从)0,0(O到)1,1(B的一段弧。（3）有向折线OAB，这里BAO,,依次是点)0,0(，)0,1(，)1,1(6解：.)1(的积分化为对x10,:2变到从xxyL1022)22(dxxxxx原式1034dxx1.)2(的积分化为对y,10,:2变到从yyxL1042)22(dyyyyy原式1045dxy1(3)1022)002(2dxxxdyxxydxOA0102)102(2dyydyxxydxAB1原式110结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。图10-2-2注意：沿不同的积分路径，积分值相同。这是为什么？积分路径沿平行于x轴、y轴的直线段或折线段时，计算简单。作业：练习册10.2