第二节平面静定桁架的内力计算

第二节平面静定桁架的内力计算桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架（见图3－10）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。图3－10房屋屋架杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中，通常引用如下假定：１）组成桁架的各杆均为直杆；２）所有外力（载荷和支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处；３）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图3－11）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点，图3－11钢桁架结构的节点它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。一、节点法因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。例3－8平面桁架的受力及尺寸如图3－12ａ所示，试求桁架各杆的内力。图3－12例3－8图解：（1）求桁架的支座反力以整体桁架为研究对象，桁架受主动力2F以及约束反力YAF、xBF、YBF作用，列平衡方程并求解：01niixF，xBF＝０0)(1niiBmF，２F×2l－YAFl＝０，YAF＝F01niiyF，YAF＋YBF－２F＝０，YBF＝2F－YAF=F（2）求各杆件的内力设各杆均承受拉力，若计算结果为负，表示杆实际受压力。设想将杆件截断，取出各节点为研究对象，作A、D、C节点受力图（图3－12ｂ），其中'1SF＝1SF，'2SF=2SF，'3SF=3SF。平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知力，故首先从只含两个未知力的节点A开始，逐次列出各节点的平衡方程，求出各杆内力。节点Ａ：01niiyF，YAF＋1SFsin300＝０,1SF＝－2YAF=－２F（压）01niixF，2SF＋1SFcos300＝０,2SF＝－0.8661SF=1.73F（拉）节点Ｄ：01niixF，－'2SF＋5SF＝０,5SF＝'2SF=2SF=1.73F（拉）01niiyF，3SF－２F＝０,3SF＝２F（拉）节点Ｃ：01niixF，－'1SFsin600＋4SFsin600＝０，4SF＝'1SF＝－２F（压）至此已经求出各杆内力，节点Ｃ的另一个平衡方程可用来校核计算结果：01niiyF，－'1SFcos600－4SFcos600－'3SF＝０将各杆内力计算结果列于表3-2：表3－2例3－8计算结果杆号12345内力－2F1.73F2F－2F1.73F例3－9试求图3－13a所示的平面桁架中各杆件的内力，已知030，G=20kN。(a)(b)图3－13例3－9图解（1）画出各节点受力图，如图3－13b所示，其中iF＝Fi(i=1,2,…,6)。各点未知力个数、平衡方程数如表3－3。由于A点的平衡方程数与未知力个数相等，所以首先讨论A点。表3－3未知力个数、平衡方程数节点ABCDE未知力个数23442独立方程数22221（2）逐个取节点，列平衡方程并求解节点Ａ：01niiyF，F1sin300－G=０,kN4030sin01GF（拉）01niixF，－F1cos300－F2=０,F2=－F1cos300=－34.6kN（压）节点B：01niixF，062FF,6F2F＝－34.6kN（压）01niiyF，F３－G＝０,F３=G＝20kN（拉）节点C：01niiyF，－F5cos300－F3cos300=０,F5=－F3=－20kN（压）01niixF，341FFFcos600－F5cos600=０,F4=31FFcos600－F5cos600=40+20cos600－(－20)cos600kN=60kN（拉）将各杆内力计算结果列于表3-4：表3－4各杆内力计算结果杆号123456内力/kN40－34.62060－20－34.6二、截面法节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，则可用截面法。这种方法是适当地选择一截面，在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。例3－10如图3－14ａ所示的平面桁架，各杆件的长度都等于1.0ｍ，在节点Ｅ上作用荷载F１＝21kＮ，在节点Ｇ上作用荷载F２＝15kＮ，试计算杆１、２和３的内力。图3－14例3－10图解：（1）求支座反力以整体桁架为研究对象，受力图如图3－14ａ所示，列平衡方程：01niixF，xAF＝０0)(1niiAmF，YBF×3.0－F1×1.0－F2×2.0＝001niiyF，yAF＋YBF－F１－F２＝０解得：YBF＝0.30.221FF=17kＮ，YAF＝1921yBFFFkＮ（2）求杆１、２和３的内力作截面ｍｎ假想将此三杆截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图3－14ｂ所示。列平衡方程：0)(1niiEmF,－1SF×1.0×sin600－yAF×1.0=00)(1niiDmF,F1×0.5＋3SF×1.0×sin600－yAF×1.5＝０01niiyF，yAF＋2SF×sin600－F1＝０解得：1SF060sinyAF=－21.9kＮ（压）3SF＝866.0215.0195.160sin5.05.101FFyAkＮ=20.8kＮ（拉）2SF＝866.0192160sin01yAFFkＮ=2.3kＮ（拉）如果选取桁架的右半部分为研究对象，可得到相同的计算结果。例3－11平面桁架结构尺寸如图3－15ａ所示，试计算杆１、２和３的内力。图3－15例3－11图解：（1）求支座反力以整体桁架为研究对象，受力图如图3－15b所示，列平衡方程：01niixF，0xAF0)(1niiAmF，FB×8a－F1×a－F1×2a－F1×3a－F1×4a－F2×5a－F2×6a－F2×7a＝001niiyF，yAF＋FB－4F1－3F2＝０解得：495818102121FFFFFB，yAF=－FB+4F1+3F2=431121FF（2）求杆１、２和３的内力作截面I－I假想将杆1、2、3截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图3－15c所示。列平衡方程：0)(1niiFmF,03241111aFaFaFaFbFyAS0)(1niiCmF,023113aFaFaFbFyAS01niiyF，032212babFFFSAy解得：)35(211FFbaFS（压），)921(4213FFbaFS(拉)，)3(412222FFbbaFS(拉)由上面的二个例子可见，采用截面法求内力时，如果矩心取得恰当，力矩平衡方程中往往仅含一个未知力，求解方便。另外，由于平面任意力系只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时，一般每次最多只能截断三根杆件，如果截断的杆件多于３根时，它们的内力一般不能全部求出。习题3—1图3－16所示的6种情形中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？图3－16题3—1图3—2试求图3－17所示静定梁在支座A和C处的全部约束反力。其中尺寸d、载荷集度q、力偶M已知。图3－17题3—2图3－3静定多跨梁的荷载及尺寸如图3－18所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处的压力。图3－18题3—3图3－4静定刚架所受荷载及尺寸如图3－19所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处压力。图3－19题3—4图3－5如图3－20所示，杆AB重G、长度为l2，A端置于水平面上，B端置于斜面上并系一绳子，绳子绕过滑轮C吊起重物FQ。各处摩擦均不计，求AB杆平衡时的G值及A、B两处的约束力。（α、β均为已知）图3－20题3—5图3－6如图3－21所示，在曲柄压力机中，已知曲柄OA=R=0.23m，设计要求：当α＝200,β=3.20时达到最大冲力F=315kN。求在最大冲压力F作用时，导轨对滑块的侧压力和曲柄上所加的转矩Ｍ，并求此时轴承Ｏ的约束反力。图3－21题3—6图3－7在图3－22所示架构中，A、C、D、E处为铰链连接，BD杆上的销钉B置于AC杆的光滑槽内，力F=200N，力偶矩M=100N·m，不计各杆件重量，求A、B、C处的约束反力。图3－22题3—7图3－8如图3－23所示，折梯由两个相同的部分ＡＣ和ＢＣ构成，这两部分各重0.１kＮ，在Ｃ点用铰链连接，并用绳子在Ｄ、Ｅ点互相联结，梯子放在光滑的水平地板上，今在销钉Ｃ上悬挂G＝0.５kＮ的重物，已知ＡＣ＝ＢＣ＝４ｍ，ＤＣ＝ＥＣ＝３ｍ，∠ＣＡＢ＝６０°，求绳子的拉力和ＡＣ作用于销钉Ｃ的力。图3－23题3—8图3－9三脚架如图3－24所示，FP=4.0kN，试求支座A、B的约束反力。图3－24题3—9图3－10如图3－25所示，起重机停在水平组合梁板上，载有重G=10kN的重物，起重机自身重５０kＮ，其重心位于垂线ＤＣ上，如不计梁板自重。求Ａ、Ｂ两处的约束反力。图3－25题3—10图3－11平面桁架的结构尺寸如图3－26所示，荷载F已知，求各杆的内力。图3－26题3—11图3－12平面桁架的荷载及结构尺寸如图3－27所示，求各杆的内力。a)b)图3－27题3—12图3－13如需求图3－28所示桁架中3、5、7各杆的内力，利用截面法，作截面I—I截断此三杆，问能否求出三杆内力？图3－28题3—13图3－14求图3－29所示桁架中１、２、３各杆的内力，F为已知，各杆长度相等。图3－29题3—14图3－15桁架尺寸如图3－30所示，主动力F为已知，求桁架中１、２、３各杆的内力。图3－30题3—15图3－16桁架尺寸如图3－31所示，主动力F为已知，求桁架中1、2、3、4各杆的内力。图3－31题3—16图