第二节求变力做功的方法(含答案)

1考点、求变力做功的几种方法1、将变力转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用WFlcos求解。例1、如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。分析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：sssh1211sinsin所以绳对物体做功：WWFsFhTF·11sinsin[变式训练]1、如图7所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为FN50，已知滑轮到水平面的高度为bm3，AB的长度am4，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。分析与解：在本题中，只有绳子拉力对滑块做功，该拉力大小虽然不变，但方向时刻改变（与水平方向的夹角逐渐增大），故属于变力做功，不能直接求解。但如果将研究对象由滑块转变为绳的另一端，因为人的拉力为恒力，所以是恒力做功，显然这个恒力做功与绳子对滑块拉力做功是相等的，故可以用人对绳子做的功代换绳子拉力对滑块的功。则有WFs。由几何关系可求得s，联立即得WJ100。小结：把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。2、微元求和法例2、如图所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。第五章机械能及其守恒定律学案高三物理第一节、变力做功（第三课时）主编：曾传文审核：高三物理备课组2分析与解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小位移sss123、、……sn都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：WFsFsFsFsFssssFRnn()()1231232……·小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用WFscos计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。[变式训练]2、木块A做匀速圆周运动，向心力F大小保持不变的作用，且F=10牛，木块A位于半径为R=1米的转盘的边缘上，则转动一周力F做的总功应为：A、0焦耳B、20π焦耳C、10焦耳D、20焦耳分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B3、平均力法例3、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）分析与解：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。Fkx，可用平均阻力来代替。如图所示，第一次击入深度为x1，平均阻力为Fkx1112，做功为：WFxkx1111212第二次击入深度为x1到x2，平均阻力为：Fkxx22112()位移为xx21做功为：WFxxkxx2221221212()()两次做功相等：WW12解后有：xxcm212141.xxxcm21041.小结：当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力，然后再利用功的公式进行求解。类似的例子还有很多，像求弹簧弹力做功时，就可以用这种办法。4、图象法例4、例题同例3分析与解：因为阻力Fkx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出Fx图象，如图4所示，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。由于两次做功相等，故有：SS12（面积）即1212122121kxkxxxx()()xxxcm21041.小结：一个看似复杂的变力做功问题，用常规方法无从下手，但通过图象变换，就使得解题过程简单、明了。可见，图象法是一个很好的解题方法，值得掌握。[变式训练]3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少？（用两种方法求解）（平均力法）分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100米过程中的平均牵引力＝N＝1×105N,3∴W＝S＝1×105×100J＝1×107J。（图像法）如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F—x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。例如：对于例3除可用平均力法计算外也可用图象法。由F=103x+f0可知，当x变化时，F也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用图象求解。牵引力表达式为F=103x+0.5×105，其函数表达图象如图3。根据F-x图象所围的面积表示牵引力所做的功，故牵引力所做的功等于梯形OABD的“面积”。所以。5、用功能关系或能量守恒解题（1）用动能定理求解例5、如图所示，质量为2ｋｇ的物体从Ａ点沿半径为Ｒ的粗糙半球内表面以10ｍ／ｓ的速度开始下滑，到达Ｂ点时的速度变为2ｍ／ｓ，求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力所做的功是多少?（2）用能量守恒求解例6、一条长链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图所示．链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?解取桌面为零势能面，设整个链条质量为ｍ，桌面高度为ｈ，下垂部分质量为ｍ０．则有ｍ０／ｍ＝ｂ／ａ，ｍ０＝（ｂ／ａ）ｍ，开始下滑时链条的初动能Ｅｋ1＝0，初势能Ｅｐ1＝－ｍ０ｇ·（ｂ／2）＝－ｍｇ·（ｂ2／2ａ），机械能Ｅ1＝Ｅｋ1＋Ｅｐ1＝－（ｂ2／2ａ）ｍｇ．设链条全部离开桌面的瞬时速度为ｖ，此时链条的势能Ｅｐ2＝－（ａ／2）ｍｇ，动能Ｅｋ2＝（1／2）ｍｖ2，机械能Ｅ2＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，根据机械能守恒定律有Ｅ1＝Ｅ2，即－（ｂ2／2ａ）ｍｇ＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，解得ｖ＝．因此，在这一过程中重力所做的功为ＷＧ＝ΔＥｋ＝（1／2）ｍｖ2－0＝（ｍｇ／2ａ）（ａ2－ｂ2）．[变式训练]4如图所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？分析：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用WFlcos求解。该过程中，物体要经历图4所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为：habb1222由功能原理可知WEEPk外当Ek0时，W外最小，为：WEmghmgabbp外1222。[变式训练]5、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。根据动能定理可知：W外=0，所以mgR-umg-WAB=0即WAB=mgR-umg=1×10×0.8-×1×10×3=6(J)46、用公式W=Pt求解利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。例7、质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。分析：汽车的功率不变，根据PFv知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用WFl求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功JJPtWF53105.7101075再由动能定理得：WWmvfF1202所以WmvWJfF1251025[变式训练]7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fvm=fvm，所以汽车的牵引力做的功为W汽车=Pt=fvmt根据动能定理有：W汽车—fs=mvm2/2，即fvmt－fs=mvm2/2代入数值解得：f=6000N。质量为5×105ｋｇ的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0．06倍，机车经过5ｍｉｎ速度达到最大值108ｋｍ／ｈ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功．[当堂训练]1、如图3-7所示，质量为m的物体被细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，O为一光滑孔，当拉力为F时，转动半径为R；当拉力为8F时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为2R，在此过程中，外力对物体做的功为（C）A.7FR/2B.7FR/4C.3FR/2D.4FR[当堂训练]2、一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点.如图3-8所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F所做的功为(B)A.mgLcosθB.mgL（1-cosθ）C.FLsinθD.FLθ[当堂训练]3、如图所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则状态A：EA=mgh+mv02/2对状态B：EB=－W弹簧+0由机械能守恒定律得：W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。