第二节电容电容器

8-2电容电容器电容反映了导体的容电本领。这一节我们先讨论孤立导体的电容，然后讨论电容器及其电容，最后讨论电容器的联接。一、孤立导体的电容在真空中，有一半径为R，电荷为Q的孤立球形导体，它的电势为RQV0π41当电势V一定时，球的半径R越大，它所带电荷Q也越多。但VQ却是一个常量。于是，我们把孤立导体所带电荷Q与其电势V的比值叫做孤立导体的电容，电容的符号为C，有VQC(8-2)对于在真空中孤立球形导体来说，其电容为RRQQVQC00π4π41在国际单位制中，电容的单位为法拉（Farad），符号为F。在实际应用中，常用微法（F）、皮法（pF）等作为电容的单位，它们之间的关系为pF10F10F1126二、电容器我们把两个导体所组成的系统，叫做电容器。如图所示，两个导体A，B，放在真空中，它们所带的电荷分别为Q和Q，如果它们的电势分别为21VV和，那么它们之间的电势差为21VVU电容器的电容定义为：两导体中任何一个导体所带的电荷Q与两导体间电势差U的比值，即UQC（8-3）导体A和B常称作电容器的两个电极或极板。扩充内容：各种各样的电容器由上式可以看出，真空中球形孤立导体的电容正比于球的半径。应当指出，电容是表述导体电学性质的物理量，它与导体是否带电无关。各种各样的电容器1平板电容器如图所示，平板电容器由两个彼此靠得很近的平行板A，B所组成，两极板的面积均为S。设两极板分别带有QQ和的电荷，于是每块极板上的电荷面密度为SQ，略去极板的边缘效应，两极板之间的场强为SQE00于是极板间的电势差为ABSQdEdU0dlE由电容器电容的定义式（8-3），可得平板电容器的电容为dSUQC0（8-4）F10F1001064UQC由于板板的面积为2lS，故由式（8-4）可得0Cdl代入已知数据，有m6.10m1085.810101236l2圆柱形电容器圆柱形电容器是由半径分别为BARR和的两同轴圆柱导体面A和B所构成，且圆柱的长度l比半径BR大得多。如图所示，因为BRl，所以可把A，B两圆柱面间的电场看成是无限长圆柱面的电场。设内、外圆柱面各带有QQ和的电荷，则单位长度上的电荷lQ。两圆柱面之间距圆柱的轴线为r处的电场强度E的大小为rlQrE1π2π200电场强度方向垂直于圆柱轴线。于是，两圆柱面间的电势差为lRRRRlQrrlQUAB00BAlnπ2dπ2drE根据式（8-3），则得圆柱形电容器的电容为AB0lnπ2RRlUQC（8-5）可见，圆柱越长，电容C越大；两圆柱面间的间隙越小，电容C也越大。如果以d表示两圆柱体面间的间隙，有BARRd。当ARd时，有从式（8-4）可见，平板电容器的电容与极板的面积成正比，与极板间的距离成反比。例1平行平板电容器的极板是边长为l的正方形，两板之间的距离mm1d。如两极板的电势差为100V，要使极板上储存C104的电荷，边长l应取多大才行。解如使电容器的电势差在100V时，极板上有C104的电荷，其电容需为AAAABlnlnRdRdRRR于是式（8-5）可写成dlRCA0π2式中lRAπ2为圆柱体的侧面积S，上式可写成dSC0此即平板电容器的电容。可见，当两圆柱面之间的间隙远小于圆柱体半径，即ARd时，圆柱形电容器可当作平板电容器。例2球形电容器的电容。球形电容器是由半径分别为21RR和的两个同心金属球壳所组成（如图）。设内球带正电)(Q，外球带负电)(Q，内、外球壳之间的电势差为U。由高斯定理可求得两球壳之间点P的电场强度为)(π42120RrRrQreE所以，两球壳之间的电势差为)11(π4dπ4d2102021RRQrrQURRllE于是，由电容器电容的定义式（8-3），可求得球形电容器的电容为)(π412210RRRRUQC顺便指出，如2R，有10π4RC此即孤立球形导体电容的公式。例3两平行长直导线单位长度上的电容。例设有两根半径都为R的平行长直导线，它们中心之间相距为d，且Rd。求单位长度的电容。解如图所示，设导线A，B间的电势差为U，它们的电荷线密度分别为和。由第8-4节的例3可知，两导线中心OO联线上，距O为x处点P的电场强度E的大小为)(π210xdxEE的方向沿x轴正向。两导线之间的电势差为RdRlxEUddlERdRxxdx0d)11(π2上式积分后为RRdUlnπ0考虑到Rd，上式近似为RdUlnπ0于是，两长直导线单位长度的电容为RdUClnπ0三、电容器的并联和串联在实际的电路设计和使用中，常需要把一些电容器组合起来才便于使用。电容器最基本的组合方式是并联和串联。下面讨论电容器并联或串联的等效电容的计算方法。1电容器的并联如图所示，有两个电容器21,CC的极板一一对应地联接起来，这种联接叫做并联。将它们接在电压为U的电路上，则21,CC上的电荷分别为21,QQ。根据式（8-3）有UCQUCQ2211,两电容器上总电荷Q为UCCQQQ)(2121若用一个电容器来等效地代替这两个电容器，使它在电压为U时，所带电荷也为Q，那么这个等效电容器的电容C为UQC把它与前式相比较可得21CCC（8-6）这说明，当几个电容器并联时，其等效电容等于这几个电容器电容之和。2电容器的串联如图所示，有两个电容器的极板首尾相联接，这种联接叫做串联。设加在串联电容器组上的电压为U，则两端的极板分别带有QQ和的电荷。由于静电感应使虚线框内的两块极板所带的电荷分别为QQ和。这就是说，串联电容器组中每个电容器极板上所带的电荷是相等的。根据式（8-3）可得每个电容器的电压为2211,CQUCQU而总电压U则为各电容器上的电压21,UU之和，即QCCUUU)11(2121如果用一个电容为C的电容器来等效地代替串联电容器组，使它两端的电压为U时，它所带的电荷也为Q，则有CQU把它与前式相比较，可得21111CCC（8-7）这说明，串联电容器组等效电容的倒数等于电容器组中各电容倒数之和。四、思考题1、“电容器的电容与其所带的电荷成正比，与两极板之间的电势差成反比”这种说法对吗？你如何理解式（8-3）？2、平行板电容器极板面积为S，间距为d，今在其中平行放置一面积相同、厚度为a的金属板后，电容器的电容值为多少？