第二节空间点热源的扩散问题

第二节量纲分析方法应用举例——空间点热源的扩散问题2.1问题的提出设初始时刻(0)t在空间中有一热源为e的瞬时热源位于原点处(0)r，热量通过介质向无穷空间扩散，试研究点热源的扩散规律。2.2模型的假设（1）任意时刻t，空间任一点（径向距离为r）的温度为u；（2）介质的初始温度为0；（3）问题的基本量纲为长度、质量、时间和温度的量纲，即,,,[].LMTu2.3模型的建立与求解由热学知识可知，在时刻t，空间任一点（径向距离为r）的温度为(,,,,)uurteck，其中c为介质的体积比热，即单位体积的介质温度升高一度所需热量。k为介质的扩散系数，即由uqkr确定（q是单位时间通过单位面积的热量）。根据BUCKINGHAMPI定理，可设(,,,,,)0furteck。由假设，则有22[],[],[]rLtTeLMT为热量e的量纲，此与功的量纲相同，即为22[][]FrLMT（热量是单位质量在热场的作用下移动一段距离所作的功），121313[][],[][]ecLMTkLMTLu。事实上，由2[][][],[][][]uuueqkrLLrTL，则3122[][][][][]eeLekLMTuTLTLTLr，于是量纲矩阵为010211000111001223100011LMATurteck，其中4,rankA线性齐次方程组0AY有642个基本解，可取12(0,2,1,0,1,1)(2,0,3,2,1,3)TTyy.于是，可以得两个相互独立的无量纲的量211123232rtckuteck，且有12(,)0F与(,,,,,)0furteck等价。根据隐函数存在定理可得21()g，即32222()()eruatgcat，其中2,kagc为待定的。在此g无法确定，量纲分析法只能给出温度函数依赖于其他参数的关系，具体的形式不能给出。因为这些函数是无量纲的，实际中有时可以通过实验数据进行模拟检验。另一方面，该问题可以用热传导方程求解得223421().2rateuecat由上面的实例可以看出：虽然量纲分析方法可以得到一些重要的有用结果，但有很大的局限性，主要是用于对实际问题的定性描述。