第二讲++常用的数学思想方法的教学

1第第二二讲讲常常用用的的数数学学思思想想方方法法的的教教学学一一、、转转化化的的思思想想1．转化（或化归）思想的含义．数数学学题题中中的的条条件件与与条条件件、、条条件件与与结结论论之之间间存存在在着着差差异异，，差差异异即即矛矛盾盾，，解解题题过过程程就就是是不不断断有有目目的的地地和和有有效效地地转转化化矛矛盾盾，，最最终终解解决决矛矛盾盾的的过过程程，，从从这这个个意意义义上上来来说说，，解解题题就就是是转转化化。。例例如如，，著著名名数数学学家家欧欧拉拉（（EEuulleerr））解解决决哥哥尼尼斯斯堡堡七七桥桥问问题题时时，，就就采采用用了了这这种种方方法法，，欧欧拉拉原原来来是是这这样样想想的的：：既既然然岛岛与与半半岛岛无无非非是是桥桥梁梁的的连连接接地地点点，，两两岸岸陆陆地地也也是是桥桥梁梁通通往往的的地地点点，，那那么么就就不不妨妨把把四四处处地地点点转转化化为为四四个个点点，，并并把把七七座座桥桥转转化化为为七七条条线线，，这这样样当当然然并并不不改改变变问问题题的的实实质质，，于于是是，，人人们们企企图图一一次次无无重重复复地地走走过过七七座座桥桥的的问问题题就就转转化化为为一一笔笔画画图图形形问问题题，，接接着着，，欧欧拉拉又又考考察察了了一一笔笔画画的的结结构构特特征征：：一一笔笔画画有有个个起起点点和和终终点点，，除除起起点点与与终终点点外外，，一一笔笔画画中中出出现现的的交交点点处处曲曲线线总总是是一一进进一一出出的的，，故故通通过过交交点点的的曲曲线线总总是是偶偶数数条条，，由由此此说说来来，，一一笔笔画画中中至至多多只只有有两两个个交交点点（（即即起起点点与与终终点点））有有可可能能通通过过奇奇数数条条曲曲线线，，我我们们看看图图，，立立即即发发现现四四个个点点都都通通过过奇奇数数条条曲曲线线，，因因此此，，可可以以断断言言它它不不是是一一笔笔能能够够画画出出的的图图形形。。2．用转化思想解题的一般模式（或思维过程）．３．中学数学中转化思想的三种形式（ⅰ）化大为小，化繁为简．（ⅱ）等价转化思想．（ⅲ）不等价的转化思想．这里又分两类，其一是找充分条件，为了证明A，我们找出命题A1，A2，…，An，它们有关系：AA1A2…An，然后证明An，从而断言A为真；其二是找必要条件，为了否定A，我们找出命题B1，B2，B3，…，Bn，它们有关系：AB1…Bn，然后证明Bn不真，从而断言A也不真．4．常用的几种转化方法．（ⅰ）分类讨论的方法（ⅱ）极端化的方法．（ⅲ）特殊与一般互相转化的方法．2（ⅳ）分解与组合的方法．在用分解和组合去实现转化时，对于待处理的问题，通常有四个方面作为分解对象：①问题本身，②问题的条件，③问题的外延，④实现目标的过程．分解和组合实现转化的模式（或过程）如图所示．（ⅴ）关系－映射－反演原则（RMI）．①函数法．②解析法．（ⅴi）不等与相等的转化，其原理为：如果f(x)≥g(x)且f(x)≤g(x)，那么f(x)=g(x)．不等转化为相等的几种方法．（1）非负数的性质（如a∈R，则a2≥0，|a|≥0）．（2）函数的有界性（如三角函数的有界性）．（3）有“≥”或“≤”的不等式中等号成立的条件，如均值不等式，柯西不等式等．（4）有实数a，b，则①|a+b|=|a|+|b|ab≥0，②|a-b|=|a|+|b|ab≤0．（5）用代换、轮转对称性、特殊值、补集思想、构造法等．二二、、函函数数、、方方程程、、不不等等式式的的思思想想．．函函数数、、方方程程、、不不等等式式是是相相互互联联系系的的，，函函数数概概念念引引入入后后，，解解方方程程ff((xx))==00就就变变成成了了求求函函数数yy==ff((xx))的的零零点点（（即即函函数数值值为为零零时时寻寻求求自自变变量量的的值值）），，从从数数形形结结合合思思想想来来说说就就是是化化为为函函数数图图象象与与xx轴轴的的交交点点坐坐标标的的寻寻求求，，不不等等式式的的解解变变成成了了两两个个函函数数值值的的比比较较大大小小而而产产生生的的区区间间，，函函数数与与方方程程有有时时可可以以转转化化，，如如方方程程FF((xx，，yy))==00当当xx给给定定后后可可唯唯一一地地确确定定yy值值时时，，可可表表示示为为一一个个函函数数．．三三、、分分类类讨讨论论（（或或逻逻辑辑划划分分））的的思思想想1．分类的定义．3所谓分类，是把一个“属概念”分为若干个“种概念”的逻辑划分方法。用集合论的观点来讲，设研究的对象的全集为I，按照一定的标准将集合I划分成若干个子集Ai（i=1，2，…，n），使得ni1Ai=I（其中Ai∩Aj=，i≠j）2．分类的原则．（ⅰ）合理性原则：划分后的各个概念的外延的总和，应当与被划分概念的外延相等（即ni1Ai=I，简称完备性），划分后各个概念之间不能重叠，它们之间的关系应当是互不相容的（即Ai∩Aj=，i≠j，简称互斥性），通常把这个原则称为不重复也不遗漏。（ⅱ）同一性原则：每次划分的根据必须同一，即每一次划分时，标准只能一个，不能交叉地使用几个不同的划分标准,通常说成分类时用同一把尺子。3．分类讨论的必要性．分类讨论是自然界中事物的不同属性所要求的（比如，人可分为男人和女人），是分析问题、解决问题的需要,在数学中由于有些概念、性质、原理、公式受到不同条件的限制，图形位置与参数取值的变化，条件与结论不唯一确定等，都需要分类讨论。4．分类的逐级性．有些问题仅靠一次分类是不够的，需对I中AK再进行分类，则称之为A的二级分类，依次类推称为三级分类，四级分类等,一级分类（分为在同一平面内与不在同一平面内），然后抓住两直线公共点的个数进行二级分类，因而在同一平面内的直线又分为相交直线与平行直线（或重合直线）,要求各级都用同一把尺子。5．分类的对象与标准．对哪一个对象进行划分，有些问题很明显（如指数，对数函数中的底数a），有些则比较隐蔽，需要认真分析，对同一个问题，不同的出发点和不同的思维方式所选择的划分对象也不尽相同，划分对象选得好，解法就简单，否则就复杂了，划分的对象确定后，紧接着就要确定分类的标准，而确定分类的标准要根据题目的要求及已有的知识，具体情况具体分析，它虽然没有统一的模式，但必须遵循就简原则。比如：求证圆锥曲线为椭圆、抛物线、双曲线的充要条件分别是以它的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离、相4切、相交，若分别对三种曲线进行证明就显得繁杂，但选取圆锥曲线统一定义中的离心率e为分类对象，就易知以“1”为分类标准，这样就简便了。6．分类讨论的常规方法．①依据数学概念的定义进行分类．②依据数学公式、原理、法则的适用范围进行分类．③依据数形结合进行分类．④依据某些数学性质进行分类．⑤依据位置关系进行分类．⑥依据参数的变化范围进行分类．⑦依据整数的奇偶性进行分类．⑧依据特殊情况或特殊要求进行分类．⑨依据剩余类进行分类．⑩对题断或题设不是唯一确定的命题，按可能出现的情况进行分类．7．中学数学中常见的需要分类讨论的内容．(1)实数的绝对值|a|与复数的模|z|（当a0时，|a|=-a）．（说明：括号中所注明的是易于忽视的地方，下同））(2)一元二次方程ax2+bx+c=0及其判别式（实系数与非实系数，a≠0）．(3)方程组的解（空集时）．(4)指数、对数函数的单调性及幂函数的奇偶性（与1的大小关系）．(5)指数、对数函数的底（a≠1，对数的真数大于零）．(6)已知角的半角及倍角所在范围（象限角，轴线角或特殊角）．(7)求三角函数值（负值所在的范围）．(8)三角方程的解（失根）．(9)解证不等式（乘以负数）．(10)等比中项（可以为负值）．(11)等比数列前n项和公式（q=1）．(12)排列、组合应用题（隐含条件，特殊元素的排法）．(13)定比分点公式（λ=±1）．(14)直线的斜率（不存在）．(15)直线在坐标轴上的截距（为零）．(16)点、线、面各自的位置关系及相互位置关系（点在直线上，点在平5面内，直线在平面内）．(17)共焦点圆锥曲线系（焦点在y轴上）．(18)复数概念（虚部为零，此时复数为零或非零实数）．(19)基本初等函数的最值（区间端点处的函数值）(20)几何体的截面面积（截平面与某棱不相交时的截面面积）．(21)方程ax=b的解（b=0）．(22)满足条件|z－z1|±|z－z2|=2a的动点z的轨迹（|z1z2|与2a的大小关系，双曲线时左支或右支）．(23)圆锥曲线统一的极坐标方程8．简化或避免分类讨论的几种方法．①避开讨论因素．②慎选公式、定理、精简分类因素．③着眼全局整体，减少讨论级数．④变更主元位置，简化复杂讨论．⑤进行变量代换，消除讨论因素．⑥等价转化，避免分类讨论．⑦利用补集思想，解脱烦琐讨论．⑧数形结合，避免分类讨论．⑨利用函数观点，函数性质，简化分类讨论．9．用分类讨论思想解题的一般步骤：（ⅰ）确定分类讨论的对象；（ⅱ）进行合理的分类讨论；（ⅲ）逐类逐级分类讨论；（ⅳ）综合、归纳结论6四、数形结合的思想数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离．1、数形结合的思想，包含两个方面的问题：Ⅰ．“形”中觅“数”：Ⅱ．“数”上构“形”：2、部分数式与图形的对应关系在中学教材中，许多数式与方程都有几何意义，许多图形又都可用数式与方程表示，这种对应关系是相互联系密不可分的。（1）实数a可以看作数轴上的点A，反之数轴上的点A也有一个实数a与之对应。（2）实数a的绝对值|a|，其几何意义是数轴上的点A(a)与原点O(0)的距离。（3）已知实数a，b，则式|a-b|，其几何意义是数轴上两点A（a），B（b）之间的距离。（4）已知实数a，b，则不等式a＜x＜b的几何意义是数轴上两点A（a），B（b）之间所有点的集合；即区间（a，b）。（5）实数对（a，b）与平面内的点（a，b）对应。（6）方程y=kx+b的几何意义是直角坐标平面上的一条直线，其中数k的几何意义是斜率，即直线倾斜角的正切值；数b的几何意义是直线在y轴上的截距。注1°方程Ax+By+C=0（AB≠0）与直线是对应的。2°方程ax+by=1中数a，b的几何意义是直线分别在x轴和y轴上的截距。（7）代数式（a-c）2+（b-d）2的几何意义是直角坐标平面内两点（a，b），（c，d）之间的距离。注1°代数式a2+b2的几何解释是点（a，b）与原点O（0，0）之间的距离。72°代数式a2+b2也可以解释为复数z=a+bi（a，b∈R）的模的平方。3°代数式（a-c）2+（b-d）2可解释为两点间距离的平方。（8）代数式（d-b）／（c-a）（c≠a）的几何意义是直角坐标平面内两点（a，b），（c，d）连线的斜率。注代数式y／x可解释为直角坐标平面内点（x，y）与原点连线的斜率。（9）函数与图象的对应关系：1°一次函数y=kx+b（k≠0）2°二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）3°指数函数y=ax（a0且a≠1)4°对数函数y=logax(a0且a≠1)5°幂函数y=xa，分a0，a0讨论图象:6°三角函数，如y=sinx7°反比例函数y=k／x(k≠0)（10）不等式y1y2的几何意义是数轴上的点A(y1)位于点B(y2)的右边（11）已知函数y=f（x），则f（x1）f（x2）的几何解释是点（x1，f（x1））位于点（x2，f（x2））“上方”（12）方程的解曲线上的点(有时可解释为函数图象与x轴的交点坐标)方程组的解(解的个数对应于交点的个数)（13）不等式的解（14）方程f（x，y）=0与曲线C的对应关系：1°方程（x-a）2+（y-b）2=r22°方程x2／a2+y2／b2=1椭圆（ab0)3°方程x2／a2-y2／b2=14°方程y2=2px5°方程ρ=ep／（1-ecosθ）（其中数e对应于离心率，数p(15)等差数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d=