第二讲_参数方程_质量评估(新课标人教A版选修4-4)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com本讲质量评估(二)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．参数方程x＝1t，y＝1tt2－1(t为参数)所表示的曲线是()．解析将参数方程进行消参，则有t＝1x，把t＝1x，代入y＝1tt2－1中，得当x0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；当x0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.对照选项，可知D正确．答案D2．直线x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)上与点P(－2，3)的距离等于2的点的坐标是()．A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－3，4)或(－1，2)D．(－4，5)或(0，1)解析可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com非标准式中参数的几何意义可得（－2）2＋（2）2·|t|＝2，可得t＝±22，将t代入原方程，得x＝－3，y＝4或x＝－1，y＝2，所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2)．答案C3．在方程x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()．A．(2，－7)B.13，23C.12，12D．(1，0)解析把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．答案C4．若P(2，－1)为圆x＝1＋5cosθ，y＝5sinθ(θ为参数且0≤θ2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为()．A．x－y－3＝0B．x＋2y＝5C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝0解析∵由x＝1＋5cosθy＝5sinθ消去θ得，(x－1)2＋y2＝25∴圆心C(1，0)，∴kCP＝－1，∴弦所在的直线的斜率为1∴弦所在的直线方程为y－(－1)＝1·(x－2)即x－y－3＝0.答案A5．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是()．A.x＝|t|y＝tB.x＝costy＝cos2tC.x＝tanty＝1＋cos2t1－cos2tD.x＝tanty＝1－cos2t1＋cos2t金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com解析注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cost∈[－1，1]，故排除A和B.而C中y＝2cos2t2sin2t＝cot2t＝1tan2t＝1x2，即x2y＝1，故排除C.答案D6．直线3x－4y－9＝0与圆x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)的位置关系是()．A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心解析把圆的参数方程化为普通方程，得x2＋y2＝4，得到半径为2，圆心为(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系．答案D7．参数方程x＝t＋1t，y＝－2(t为参数)所表示的曲线是()．A．一条射线B．两条射线C．一条直线D．两条直线解析根据参数中y是常数可知，方程表示的是平行于x轴的直线，再利用不等式知识求出x的范围可得x≤－2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射线．答案B8．设r0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆x＝rcosφ，y＝rsinφ(φ是参数)的位置关系是()．A．相交B．相切C．相离D．视r的大小而定解析根据已知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝|0＋0－r|cos2θ＋sin2θ＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．答案B金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com9．过点(0，2)且与直线x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)互相垂直的直线方程为()．A.x＝3ty＝2＋tB.x＝－3ty＝2＋tC.x＝－3ty＝2－tD.x＝2－3ty＝t解析直线x＝2＋t，y＝1＋3t化为普通方程为y＝3x＋1－23，其斜率k1＝3，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－33，故参数方程为x＝－3ty＝2＋t(t为参数)．答案B10．若圆的方程为x＝－1＋2cosθ，y＝3＋2sinθ(θ为参数)，直线的方程为x＝2t－1，y＝6t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是()．A．相交过圆心B．相交但不过圆心C．相切D．相离解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，直线的方程为3x－y＋2＝0，圆心坐标为(－1，3)，易验证圆心不在直线3x－y＋2＝0上．而圆心到直线的距离d＝|－1×3－3＋2|32＋（－1）2＝4102，∴直线与圆相交．答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)11．圆的参数方程为x＝2＋4cosθ，y＝－3＋4sinθ(0≤θ2π)，若圆上一点P对应参数θ金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com＝43π，则P点的坐标是________．解析当θ＝43π时，x＝2＋4cos43π＝0，y＝－3＋4sin43π＝－33，∴点P的坐标是(0，－33)．答案(0，－33)12．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：x＝1＋2cosθy＝1＋2sinθ，则C上各点到l的距离的最小值为________．解析圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴d＝|1－1＋4|12＋（－1）2＝22，∴距离最小值为22－2.答案22－213．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________．解析由4x2＋y2＝4，得x2＋y24＝1.令x＝cosφy＝2sinφ(φ为参数)，则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，∴1≤|OP|≤2.答案[1，2]14．点(－3，0)到直线x＝2t，y＝22t(t为参数)的距离为________．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com解析∵直线x＝2ty＝22t的普通方程为x－22y＝0，∴点(－3，0)到直线的距离为d＝|－3－0|1＋（－22）2＝1.答案1三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．解由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的圆．令x＝1＋2cosθ，y＝－2＋2sinθ，则S＝3x－y＝3(1＋2cosθ)－(－2＋2sinθ)＝5＋6cosθ－2sinθ＝5＋210sin(θ＋φ)(其中tanφ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S有最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S有最小值为5－210.所以S的最大值Smax＝5＋210；S的最小值Smin＝5－210.16.如图所示，连结原点O和抛物线y＝2x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹．解因为抛物线标准方程为x2＝12y，所以它的参数方程为x＝12t，y＝12t2(t为参数)，得Mt2，t22.设P(x，y)，则M是OP的中点，所以12t＝0＋x2，12t2＝0＋y2，即x＝t，y＝t2(t为参数)，消去参数t，得y＝x2.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com所以，点P的轨迹方程为y＝x2，它是以y轴为对称轴，焦点为0，14的抛物线．17．已知点A为椭圆x225＋y29＝1上任意一点，点B为圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，求|AB|的最大值和最小值．解化椭圆普通方程为参数方程x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，圆心坐标为C(1，0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得|AC|＝（5cosθ－1）2＋9sin2θ＝16cos2θ－10cosθ＋10＝16cosθ－5162＋13516，所以，当cosθ＝516时，|AC|取最小值为3154；当cosθ＝－1时，|AC|取最大值为6.所以，当cosθ＝516时，|AB|取最小值为3154－1；当cosθ＝－1时，|AB|取最大值为6＋1＝7.18．设直线l的参数方程为x＝3＋tcosα，y＝4＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ(θ为参数)．(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率．(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．解(1)由已知得直线l经过的定点是P(3，4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝52.(2)由圆C的参数方程x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2，由直线l的参数方程为x＝3＋tcosα，y＝4＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第8页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k|k2＋12，由此解得k2120.直线l的斜率的取值范围为2120，＋∞.19．已知曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，曲线C2：x＝22t－2，y＝22t(t为参数)．(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解(1)C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋2＝0.因为圆心C1到直线x－y＋2＝0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C′1：x＝cosθ，y＝12sinθ，(θ为参数)，C′2：x＝22t－2，y＝24t(t为参数)，化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝12x＋22，联立消元得2x2＋22x＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第9页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com