第二讲不等式

掌门1对1教育高中数学第二讲不等式1．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔ba.(2)传递性：ab，bc⇒ac.(3)加法法则：ab⇔a＋cb＋c.(4)乘法法则：ab，c0⇒acbc.ab，c0⇒acbc.(5)同向不等式可加性：ab，cd⇒a＋cb＋d.(6)同向同正可乘性：ab0，cd0⇒acbd.(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)．(8)开方法则：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)或ax2＋bx＋c0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}{x|x∈R且x≠－b2a}R不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅3．基本不等式：a＋b2≥ab(a0，b0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．4．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等；(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．5．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxB.(2)能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D上f(x)minB.(3)恰成立问题若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.1．(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x－1或x12，则f(10x)0的解集为()A．{x|x－1或x－lg2}B．{x|－1x－lg2}C．{x|x－lg2}D．{x|x－lg2}答案D解析由已知条件010x12，解得xlg12＝－lg2.2．(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)答案C解析当x0时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以lgx2＋14≥lgx(x0)，故选项A不正确；当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D不正确．3．(2013·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k12时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y＝－kx＋z经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知，k＝2.4．(2013·湖南)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案12解析方法一∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋9c2≥13(a＋2b＋3c)2＝363＝12.∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.方法二∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.由柯西不等式，可得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当1a＝12b＝13c，即a＝2，b＝1，c＝23时取等号．5．(2013·四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．答案{x|－7x3}解析令x0，则－x0，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝x2－4x，x≥0，x2＋4x，x＜0.再求f(x)5的解，由x≥0，x2－4x5，得0≤x＜5；由x0，x2＋4x5，得－5x0，即f(x)5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)5的解集为{x|－7x3}．题型一不等式的解法例1(1)不等式x－12x＋1≤0的解集为()A.－12，1B.－12，1C.－∞，－12∪[1，＋∞)D.－∞，－12∪[1，＋∞)(2)(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．审题破题(1)可以将不等式转化为等价的二次不等式求解；(2)已知二次不等式的解集，可以利用根与系数的关系．答案(1)A(2)9解析(1)x－12x＋1≤0等价于不等式组x－1≤0，2x＋10，①或x－1≥0，2x＋10.②解①得－12x≤1，解②得x∈∅，∴原不等式的解集为－12，1.(2)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)c.∴x＋a22c，即－a2－cx－a2＋c.∴－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6.②②－①，得2c＝6，∴c＝9.反思归纳解不等式的基本思路是将原不等式转化为一次或二次不等式，然后求解；和函数有关的不等式，可利用函数的单调性，含参数的不等式，要进行分类讨论．变式训练1(1)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋10.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2)B．[－2,0)C．(－2,0)D．[0,2]答案C解析p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m0；命题q为真时，Δ＝m2－40，解得－2m2.故p∧q为真时，－2m0.(2)已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则fx1－fx2x1－x20.如果f13＝34，4f(x)3，那么x的取值范围为()A.0，12B.12，2C.12，1∪(2，＋∞)D.0，18∪12，2答案B解析由已知可得当x≥0时，f(x)是减函数．又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．由f(|x|)34＝f13，得|x|13，∴－13x13，∴12x2.题型二线性规划问题例2(1)已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2](2)设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)审题破题(1)将OA→·OM→用坐标表示，转化为线性规划问题；(2)找到目标函数取最大值时经过可行域内的点，求出最大值，解关于m的不等式求得m的取值范围．答案(1)C(2)A解析(1)作出可行域，如图所示，由题意OA→·OM→＝－x＋y.设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴OA→·OM→的取值范围是[0,2]．(2)变形目标函数为y＝－1mx＋zm，由于m1，所以－1－1m0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－1mx＋zm在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得交点A11＋m，m1＋m，所以目标函数的最大值是11＋m＋m21＋m2，即m2－2m－10，解得1－2m1＋2，故m的取值范围是(1,1＋2)．反思归纳(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．变式训练2(1)(2012·辽宁)设变量x，y满足x－y≤10，0≤x＋y≤20，0≤y≤15，则2x＋3y的最大值为()A．20B．35C．45D．55答案D解析不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5,15)时2x＋3y的值最大，此时2x＋3y＝55.(2)(2013·广东)给定区域D：x＋4y≥4x＋y≤4x≥0.令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．答案6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．题型三利用基本不等式求最值例3(1)已知a0，b0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．(2)已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为()A．1B．2C．3D．4审题破题(1)由f(x)为偶函数得出a，b的关系式，再利用基本不等式，列出关于ab乘积的不等关系，求ab乘积的最小值．(2)求λ的最小值，即求x＋22xyx＋y的最大值．答案(1)16(2)B解析(1)根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4ab，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.(2)∵x0，y0，∴x＋2y≥22xy(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥x＋22xyx＋y，而x＋22xyx＋y≤x＋x＋2yx＋y＝2，∴当且仅当x＝2y时，x＋22xyx＋ymax＝2.∴λ的最小值为2.反思归纳在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．变式训练3设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14答案B解析