第二讲不等式的证明及著名不等式

第二讲不等式的证明及著名不等式1．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么a＋b2____ab，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均．(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值．2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么a＋b＋c3____3abc，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann____na1a2…an，当且仅当______________时，等号成立．3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．4．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道ab⇔a－b0，ab⇔a－b0，因此要证明ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由ab0⇔ab1且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式______的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．(6)数学归纳法设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．1．已知a0，b0，且1a21b2，则a，b的大小关系为______．2．已知a、b、m均为正数，且ab，M＝ab，N＝a＋mb＋m，则M、N的大小关系是________．3．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为__________．4．已知a0，b0，则P＝lg(1＋ab)，Q＝12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小关系为________．5．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为________.题型一柯西不等式的应用例1已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______．题型二用综合法或分析法证明不等式例2已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1)(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8；(2)a＋b＋c≤3.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a，b，c0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．题型三放缩法或数学归纳法例3若n∈N*，Sn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，求证：nn＋12Snn＋122.思维升华(1)与正整数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦．(2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有1k21kk－1，1k21kk＋1，1k2k＋k－1，1k2k＋k＋1.上面不等式中k∈N*，k1.求证：32－1n＋11＋122＋132＋…＋1n22－1n(n≥2，n∈N＋)．利用算术—几何平均不等式求最值典例：(5分)已知a，b，c均为正数，则a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2的最小值为________．方法与技巧1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．失误与防范1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A组专项基础训练1．若1a1b0，则下列四个结论：①|a||b|；②a＋bab；③ba＋ab2；④a2b2a－b.其中正确的是________．2．若T1＝2sm＋n，T2＝sm＋n2mn，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．3．设0x1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是________．4．已知x，y∈R，且xy＝1，则(1＋1x)(1＋1y)的最小值为________．5．设x0，y0，M＝x＋y2＋x＋y，N＝x2＋x＋y2＋y，则M、N的大小关系为__________．6．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________．7．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为________．8．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则3a＋2b＋c的最大值为________．9．(2013·天津)设a＋b＝2，b0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．10．设a0，b0，则以下不等式①ab2aba＋b，②a|a－b|－b；③a2＋b24ab－3b2；④ab＋2ab2中恒成立的序号是________．B组专项能力提升1．已知x0，y0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为_________________________．2．函数y＝x2·(1－3x)在0，13上的最大值是________．3．(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．4．已知a，b为实数，且a0，b0.则a＋b＋1aa2＋1b＋1a2的最小值为________．5．P＝xx＋1＋yy＋1＋zz＋1(x0，y0，z0)与3的大小关系是________．6．已知x2＋2y2＋3z2＝1817，则3x＋2y＋z的最小值为_________________________．7．设a，b，c都是正数，那么三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a________.(填序号)①都不大于2；②都不小于2；③至少有一个大于2；④至少有一个不小于2.答案基础知识自主学习要点梳理1．(2)≥a＝b正数不小于(即大于或等于)(3)①x＝y大②x＝y小2．(1)≥a＝b＝c不小于(2)不小于≥a1＝a2＝…＝an4．(1)①a－b0②ab1(2)充分条件(4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1．ab2．MN解析M－N＝ab－a＋mb＋m＝ma－bbb＋m0，即MN.3．abc解析分子有理化得a＝13＋2，b＝16＋5，c＝17＋6∴abc.4．P≤Q解析12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝lg1＋a1＋b.∵(1＋a)(1＋b)＝1＋(a＋b)＋ab≥1＋2ab＋ab＝(1＋ab)2，∴1＋a1＋b≥1＋ab，∴lg(1＋ab)≤lg1＋a1＋b＝12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，即lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．∴P≤Q.5．2解析∵(a＋b＋c)2a＋2b＋2c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]·[(2a)2＋(2b)2＋(2c)2]≥a·2a＋b·2b＋c·2c2＝18.∴2a＋2b＋2c≥2.∴2a＋2b＋2c的最小值为2.题型分类深度剖析例1证明由于2x＋y＝23(3x)＋12(2y)，由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a21＋a22)(b21＋b22)得(2x＋y)2≤[(23)2＋(12)2](3x2＋2y2)≤(43＋12)×6＝116×6＝11，∴|2x＋y|≤11，∴2x＋y≤11.跟踪训练1425解析由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，x2＋y2取得最小值，由方程组3x＋4y＝2，x3＝y4，解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425.例2证明(1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8.(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，2(a＋b＋c)≥2ab＋2bc＋2ca，两边同加a＋b＋c得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝(a＋b＋c)2.又a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2≤3，∴a＋b＋c≤3.跟踪训练2证明(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c.即证abc＋bac＋cab≤1，即证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca.而abc＝ab·ac≤ab＋ac2，bac≤ab＋bc