第二讲带电粒子在磁场中的运动

1第二讲洛仑兹力的应用带电粒子在复合场中的运动一、洛伦兹力与安培力的关系1．洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现。2．洛伦兹力恒不做功，但安培力却可以做功。二、带电粒子在磁场中运动（不计其它作用）1．若v//B，带电粒子以速度v做匀速直线运动运动（此情况下洛伦兹力f=0）；2．若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动运动；3．若v和B成夹角（0和900以外的值），带电粒子做螺旋线运动，螺旋线的轴线与磁场平行。4．电荷垂直进入匀强磁场和匀强电场时运动的比较由于和电场相比，磁场的基本特征以及对运动电荷的作用特征存在着较大的差异，因此电荷垂直进入匀强磁场和匀强电场时所做的所谓“磁偏转”和“电偏转”运动，有着如下诸方面的差异：（1）“电偏转”中偏转力fe=qE与运动速度无关，“磁偏转”中偏转力fB=qυB随运动速度变化。（2）“电偏转”时做的是类平抛运动，其运动规律为x=υ0t，y=22tmqE；“磁偏转”时做的是匀速圆周运动，其运动规律是从时、空两个角度反映了运动的特征：T=qBm2，B=qBm。（3）“电偏转”中由于偏转力fe做功，因而兼有加速功能，动能将增加；“磁偏转”中由于偏转力fB总不做功，动能保持定值。三、带电粒子做匀速圆周运动的分析方法在研究带电粒子在匀强电场中的匀速圆周运动时，要着重掌握“一找圆心，二找半径，三找周期或时间”的规律。1．圆心的确定：因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥V，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心。或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。2．半径的确定和计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何关系。（1）粒子速度的偏向角（）等于回旋角（），并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）的2倍，即：==2=t。（2）相对的弦切角相等，与相邻的弦切角’互补。3．粒子在磁场中运动时间的确定：利用回旋角（即圆心角）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于3600计算出圆心角的大小，由公式Tto360，可求出粒子在磁场中的运动时间。4．注意圆周运动中有关对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与喧界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。四、洛伦兹力多解问题1．带电粒子电性不确定形成多解常驻洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向。此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。3．临界状态不惟一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180o从入射界面这边反向飞出，于是形成多解。4．运动的重复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。五、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。2．当速度V一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。3．当速率V变化时，圆周角大的，运动时间越长。例1．如图甲所示，在y0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电荷量和质量之比mq.思路点拨：带电粒子在磁场中的圆周运动的解题思路是：找轨道圆心，定轨道半径，洛仑兹力提供向心力。2解析：带电离子射入磁场后，在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，由RmvqvB20得半径：0mvRqB①由于带电离子从磁场边缘射入，它在磁场中的轨迹不可能是整圆。由偏转方向知，最后粒子必从x轴负方向上某处离开磁场，其运动轨迹如图乙所示。已知OA=L，圆心必在OA的中垂线上.由几何关系知：RL2/sinθ＝②联立①、②两式，得粒子的荷质比为LBvmqθsin20变式1．图中MN表示真空室中垂直于纸面的平板，它的一侧有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。一带电粒子从平板上的狭缝O处以垂直于平板的初速v射入磁场区域，最后到达平板上的P点。已知B、v以及P到O的距离l．不计重力,求此粒子的电荷q与质量m之比。答案：qm=2vBl例2．如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为300.粒子的重力不计，试求:(1)圆形匀强磁场区域的最小面积.(2)粒子在磁场中运动的时间.(3)b到O的距离.解析：(1)带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力RvmBqv20其转动半径为qBmvR0带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为:Rl3要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为l的一半，即:qBmvRlr0232321其面积为222022min43BqvmrS(2)带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为1200，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周期的31，qBmvRTt323/2310(3)带电粒子从O处进入磁场，转过1200后离开磁场，再做直线运动从b点射出时ob距离:qBmvRd033变式2．如图所示，一带电质点质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ax轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。（重力忽略不计）答案：qBmvR2222。例3．如图所示，在真空中半径2100.3rm的圆形区域内，有磁感应强度B=0．2T，方向如图的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度60100.1vm/s，从磁场边界上直径ab的a端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向，若该束粒子的比荷8100.1mqC/kg，不计粒子重力．求：（1）粒子在磁场中运动的最长时间．（2）若射入磁场的速度改为5100.3vm/s，其他条件不变，试用斜线画出该束粒子在磁场中可能出现的区域，要求有简要的文字说明．（6.037sin，8.037cos）解析：（1）由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的×××××××××××××××POlMNBvavyObvxbxyOm,qv030°bxyORv060°l3半径，RvmBqv200，20100.5BemvRm2100.3r因此要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弦长最长，从右图中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆，粒子运动的时间最长。设该弦对应的圆心角为2，而qBmT2运动时间qBmTt222max又53sinRr，故8max105.6ts（2）rmqBmvR3/105.1粒子在磁场中可能出现的区域：如图中以Oa为直径的半圆及以a为圆心Oa为半径的圆与磁场相交的部分．绘图如图。变式3．比荷为me的电子以速度0v沿AB边射入边长为a的等边三角形的匀强磁场区域中，如图所示，为使电子从BC边穿出磁场，磁感应强度B的取值范围为（）A．eamvB03B．eamvB03C．eamvB02D．eamvB02答案：B。高考真题鉴赏1．（06北京20）如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为t。若该微粒经过p点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。两个微粒所受重力均忽略。新微粒运动的A.轨迹为pb，至屏幕的时间将小于tB.轨迹为pc，至屏幕的时间将大于tC.轨迹为pb，至屏幕的时间将等于tD.轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t解析：带电微粒在匀强磁场中做匀速圆周运动，设带电微粒的质量为m1，电量为q1，则：，撞击后，新微粒的质量为（m1+m2），电量为q1，则，因为碰撞动量守恒，所以，所以，所以轨迹仍为pa，时间变长。所以D选项正确。2．（07四川21）如图所示，长方形abcd长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B＝0.25T。一群不计重力、质量m＝3×10-7kg、电荷量q＝＋2×10－3C的带电粒子以速度v＝5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域A．从Od边射人的粒子，出射点全部分布在Oa边abcdBveO××××××4B．从aO边射人的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边D．从aO边射人的粒子，出射点分布在ab边和bc边解析：粒子在磁场中运动的半径qBmvR=0．3m。粒子在磁场中运动受的洛仑兹力的方向偏向ab边的一侧，圆周运动的圆心在da边上，射入的粒子都不能到达bc边，只能分布在ab边上。答案：B3．（07全国25）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示，在y＞0，0＜x＜a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y＞0，x＞a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点有一处小孔，一束质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后扎在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0＜x＜a的区域中运动的时间与在x＞a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为：qBmvr速度小的粒子将在x＜a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r＝a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD＝2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C/，C在y轴上，由对称性可知C/在x＝2a直线上。设t1为粒子在0＜x＜a的区域中运动的时间，t2为在x＞a的区域中运动的时间，由题意可知5221tt12721Ttt解得：61Tt，1252Tt由两式和对称性可得：∠OCM＝60°∠MC/N＝60°PMC/360°125＝150°所以∠NC/P＝150°－60°＝90°即NP为41圆周，因此，圆心C/在x轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角ΔCOC/可得2Rsin60°＝2a332aR由图可知OP＝2a＋R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标××××××××××Oaxy