第二讲提公因式法分解因式

1第二讲提公因式法分解因式一、知识点梳理1．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式,分解因式的原则：2．分解因式与整式乘法的关系3．多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式公因式三要素:,,4．一般地，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将这个多项式化成两个整式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。5.公式法分解因式定义：6.常用的公式有：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)、完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)27.配方的办法：二、针对性例题例1．下列各式从左到右，哪些是因式分解①22326aabaab②2633(2)axaxaxx③29(3)(3)aaa④232(3)2xxxx巩固练习：1．判断以下哪些变形是分解因式（）A.ayaxyxa)(B.)12(55102xxxxC.22)2(44yyyD.ttttt3)4)(4(31622．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A、222(2)2xyxxyyB、22()()abababC、23282aba·34bD、22221()1ababab例2.把多项式4x2+4y-36分解因式.总结：当一个多项式各项的系数有公约数时，应先提出，然后再考虑。此题通过提系数的最大公约数可将多项式分解因式。例3.把多项式3x4y2-6x2y3+12x3y分解因式2总结：当一个多项式提取后，还应注意看各项的是否有相同的.相同的字母是各项的公因式，这时一起提出来.当字母含有时，应注意提取字母的.巩固练习：将下列各式分解因式：（1）5x－20（2）6x3y2+12x2y3－6x2y2（3）41a2b+31ab2－91ab例4.分解因式-x-x2+2xz.归纳与小结：如果一个多项式中的某一项就是公因式，提取公因式后应用补充，首项含有“－”号时，一般要将也一并提出，但要注意括在括号里面的各项要.同步练习：（1）2a3b2c＋4ab3c－abc（2）－14x3－21x2+28x（3）－２3ab＋８2a2b－８a3b（4）－9m2n+27mn2－18mn例5、（1）32004－32003（2）5799449999（3）2.854×4.362－4.362×1.8－0.054×4.362例6.计算：20062005(8)(8)能被下列数整除的是（）A．3B．5C．7D．9同步练习：利用因式分解进行计算（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.43（3）（－2）101+（－2）100.（4）2005×20042004-2004×20052005例7、把下列各式分解因式:（1）a（x－3）+2b（x－3）（2）a（x－y）+b（y－x）;（3）6（m－n）3－12（n－m）2.同步练习：分解因式1．(x+y)(2x－y)＋3y(x+y).2.5a2(x－y)+10a(y－x)3.－ab（a－b）2＋a（b－a）24.6x(x－y)2＋3(y－x)35.a(x+y)2+6a(y+x)36.x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a).7.m（m－n）+n（n－m）8.m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）例1、直接运用公式：（1）16m2–9n2=（2）16x2–y2=（3）x2–9=（4）25a2–241b=巩固练习：1、把下列各式分解因式：（1）4–m2（2）91m2–4n2（3）a2b2－m2例2、提取公因式后运用公式4把下列各式分解因式（1）2x3–8x（2）3x3y–12xy例3、系数变换后用公式把下列各式分解因式（1）9（x–y）2–（x+y）2（2）2216baba；例4、指数变换后用公式把下列各式分解因式：（1）481y=（2）-164481yx巩固练习：1、判断正误：（1）x2+y2=（x+y）2()（2）x2–y2=(x–y)2()（3）x2–2xyy2=(x–y)2()（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2()例5、直接利用公式把下列各式分解因式：（1）x2–4xy+4y2（2）4m2–6mn+9n2（3）-xyyx4422（4）4–12（x–y）+9（x–y)2例6、提取公因式后用公式把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）（a2+b2）2－4a2b2;5（3）a4-8a2b2+16b4;(4)2x2y+2xy+21y.巩固练习：把下列各式分解因式：（1）)(4)(4)(23bababa；（2）22)())(22()(nmnmnmnm(3)228168ayaxyax(4)2224)1(aa（5）a3b-ab3（6）-x2+4xy-4y2（7）3ax2+6axy+3ay2关于完全平方公式的补充：例7、若9x2－mxy＋16y2是一个完全平方式，则m=（）A、12B、24C、±12D、±24巩固练习：1、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–x+41（2）9a2b2–3ab+1（3）229341nmnm（4）251056xx2、（1）若y2－8y+m－1是完全平方式，则m=。（2）若多项式x2+kx+91是完全平方式，则k=(3)若22416xmxx，那么m=________．三、课堂总结1.当一个多项式中既有系数又含有字母时,应注意综合考虑多项式的公因式.做到三看：一看系数，公因式的系数取多项式中各项系数的.二看字母，公因式的字母取多项式各项都含有的三看指数，取相同字母的2.如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换，如(a-b)2＝，(a－b)3＝；63.当一个多项式的公因式是以多项式的形式出现的，应将多项式作为提出.因式分解的结果应将单项式写在，多项式写在后面，相同的因式写成四、当堂检测1.下列从左到右的变形，是分解因式的为()A.x2－x=x(x－1)B.a(a－b)=a2－abC.(a+3)(a－3)=a2－9D.x2－2x+1=x(x－2)+12．把下列各式分解因式正确的是（）A．xy2－x2y＝x（y2－xy）；B．9xyz－6x2y2＝3xyz（3－2xy）C．3a2x－6bx＋3x＝3x（a2－2b）；D．21xy2＋21x2y＝21xy（x＋y）3.多项式－4a2b2+12a2b2－8a3b2c的公因式是（）A．－4a2b2cB．－a2b2C．－4a2b2D．－4a3b2c4.若多项式－6mn+18mnx+24mny的一个因式是－6mn,那么另一个因式是（）A．－1－3x－4yB．1－3x－4yC．－1－3x+4yD．1+3x－4y5.下列提公因式法分因式，正确的是（）.A.227(7)xyxyyyxxB.223363(2)ababbbaaC.2682(34)xyzxyxyzyD.4262(23)xyzxyz6.分解因式b2(x－2)+b(2－x)正确的结果是()A.(x－2)(b2+b)B.b(x－2)(b+1)C.(x－2)(b2－b)D.b(x－2)(b－1)7.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是()A.42B.－42C.13D.－138.把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）9.把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（）A．8（7a－8b）（a－b）;B．2（7a－8b）2;C．8（7a－8b）（b－a）;D．－2（7a－8b）10.下列各个分解因式中正确的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）11．在下列括号内填写适当的多项式，使等式成立：（1）14abx－8ab2x=2abx();(2)－7ab－14abx+49aby=－7ab()12．利用分解因式计算：（－2）2003+（－2）2004－22003=。13．多项式－ab（a－b）2＋a（b－a）2－ac（a－b）2分解因式时，所提取的公因7式应是_____。14．（a－b）2（x－y）－（b－a）（y－x）2＝（a－b）（x－y）×________。15.在下列各式右边的括号前填写“+”号或“－”号，使等式成立：(1)（b－a）2=_______(a－b)2;(2)(x－y)3=___(y－x)3(3)－a－b=_____(a+b);(4)(－x－y)2=___(x+y)216.分解因式：（1）a2b－5ab（2）4m3－6m2（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－a2+ab－ac（5）－24x2y－12xy2+28y3（6）(a+b)(x+y)－(a+b)(x－y)（7）m（a－b）－n（b－a）（8）m（m－n）+n（n－m）（9）a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）（10）5（x－y）3+10（y－x）2（11）（a－3）2－（2a－6）（12）m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）17.先化简，再求值a(8－a)+b(a－8)－c(8－a)，其中a=1，b=21，c=21.18.已知2x－y=81，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.19．计算93－92－8×92的结果是__________.20.已知关于x的二次三项式3x2－mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x－1)，则m＝＿＿，n＝＿＿.21．利用简便方法计算：（1）23×2.718+59×2.718+18×2.718；（2）57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×（－20）8五、拓展提高1．－6xn－3x2n分解因式正确的是（）A．3（－2xn－x2n）B．－3xn（2－xn）C．－3（2xn＋x2n）D．－3xn（xn＋2）2、分解因式2(3)(3)xyxy＝______________。3、若a是有理数，则整式222(2)24aaa的值为（）Ａ．不是负数Ｂ．恒为正数Ｃ．恒为负数Ｄ．不等于零4、9993－999能被998整除吗？能被998和1000整除吗？为什么？对于任意自然数n，2n+4－2n能被15整除吗？为什么？5、把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.6、（1）若21xx，求200720062005xxx的值.（2）若a2+a＝0，求2a2+2a+2007的值7、阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋(1)xx＋2(1)xx=（1＋x）[1＋x＋(1)xx]=（1＋x）2（1＋x）=（1＋x）3.（1）上述分解因式的方法是__________，共应用了________次；（2）若分解1＋x＋(1)xx＋2(1)xx＋…＋2007(1)xx，则需应用上述方法_______次，结果是_________________________________.（3）分解因式：1＋x＋(1)xx＋2(1)xx＋…＋(1)nxx（n为正整数）.9六、直击中考1.（2013年河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是A．a(x－y)＝ax－ayB．x2+2x+1＝x(x+2)+1C．(x+1)(x+3)＝x2+4x+3D．x3－x＝x(x+1)(x－1)2.（2013•自贡）多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式是x﹣1．3.（2013年广州市）分解因式：xyx2_______________.4.（2013山西，13，3分）分解因式：ａ