第二讲空间几何体的表面积与体积

第二讲空间几何体的表面积与体积【考纲要求】：会计算球、柱、锥、台的表面积和体积（不要求记忆公式）.【要点整合】：1．基本性质：（含定理和公式）()Scll直截面斜棱柱侧为斜棱柱的侧棱长()Schc直棱柱侧为底面周长，h为直棱柱的高'1()2Schc正棱锥侧为底面周长，h为正棱锥的斜高'1)2(,)Scchcc正棱台侧（为上下底面周长，h为正棱台的斜高2()Sclrlc圆柱侧为底面周长，r为底面半径，1为圆柱的母线1(2)Sclrlc圆锥侧为底面周长，r为底面半径，l为圆锥的母线1)()(,2)Scclrrlcc圆台侧（为上下底面周长，r,r为上下底面半径，l为圆台的母线也叫做圆柱、圆锥、圆台侧面积的统一公式，其中'cc时为柱，'0c时为锥。24()SRR球面为球的半径()VShS柱体为底面面积，h为柱体的高()VShS锥体１为底面面积，h为锥体的高３()()VhSSSSS台体１、S为上下底面面积，h为台体的高３也叫做柱、锥、台体积的统一公式，其中'SS时为柱，'0S时为锥。3()VRR球４为球的半径３2．基本方法：转化法、割补法、等积变换、折叠与展开等方法。BACOSO11ABCA2C2B2ESh1H2H33．易错警示：要注意审题，是求全面积还是求侧面积（侧面积不是棱锥、棱柱的一个侧面的面积）。例1已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于（）（A）4（B）3（C）2（D）解：选A.由条件得，球O的直径为22RSC，表面积为244.R变式1有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.例2（等积变换）已知直三棱柱ABC-A1B1C1，用一个平面去截这个棱柱，截面为222ABC，设212223AAh,BBh,CCh，棱柱的底面面积为S，试求截面与棱柱下底面之间的几何体的体积V.2222221111222132BAACCB-ABC123AB,CB,BEACE,ACm,BEh.AACCABCBEAACC,BEB-AACCm(hh)hh1VVV=S=S(hhh).3233解：连接作于设侧面底面侧面即是棱锥的高变式2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且BCFADE、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）（A）32（B）33（C）34（D）23例3（割补法）已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别是棱AA1,CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积。11111111111111AEBFDA-EFDA-EFBF-AEDF-AEBAED11AEB1123AEDAEBEFV=V+V=V+V11=SCDSCB33aaa1(SS)a.3326-解：连接,则变式3如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S，2S，3S，则1S，2S，3S的大小关系为.例4圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.解:设球半径为r，则由3VVV球水柱可得32243863rrrr,解得r=4.变式4有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(A)（0,62）(B)（1,22）(C)(62,62）(D)（0,22）作业：1、底面为正方形，四条侧棱长都垂直于底面且分别为1234,,,hhhh。底面积为S，求这样的正四棱柱1111ABCDABCD的体积_______________2,()2323A.2+23.4+23.2+.4+33BCD.一空间几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为3.已知正四棱锥SABCD中，23SA，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1（B）3（C）2（D）34.如图，正方体1111ABCD-ABCD的棱长为2，22侧(左)视图222正(主)视图俯视图动点E、F在棱11AB上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，1AE=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关；（B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关；（D）与y有关，与x无关；5()A.2B.4C.6D.8.如图,已知在多面体ABC-DEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积是6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（A）2（B）1（C）23（D）137.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（）(A)233(B)433(C)23(D)8338.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为.9.正六棱柱的最大对角面的面积为4m2,互相平行的两个侧面的距离为2m,则这个六棱柱的体积为.10.正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为,则ABCDEFGH正三棱柱的体积为.11.圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为.12.木星的体积约是地球体积的24030倍，则它的表面积约是地球表面积的倍.13.底面半径为1,高为3的圆锥,其内接圆柱的底面半径为R，当R=时，内接圆柱的体积最大为.14.在三棱锥A-BCD中，AB=3,AC=AD=2,且DACBAC60OBAD,求：（1）三棱锥A-BCD的表面积；（2）三棱锥A-BCD的体积。15.四面体有五条棱长为2,当第六条棱长为多少时,四面体的体积最大,并求其最大值.16.斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB,AC都成450角。(I)求这个三棱柱的侧面积；(II)求这个三棱柱的体积。答案：变式1：12341()4hhhhS；变式2：A；BADC变式3：解：考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得321SSS.注：割补法和等积变换可以使题目由复杂向简单、由未知向已知转化.变式4：解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：（1）底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=3，SD=21a，则有21a2+3，即22843(62)a，且a0,即有0a62(2)构成三棱锥的两条棱长为a，其它各边长为2，如图所示，此时a0;且224084aaa综上分析可知a∈（0,62）.注：本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。附作业参考答案ACCCB,BB;8.4;9.3;10.8;11.33288192cmcm或;12.120;13.243327，;14.1S436;(2)V2（）=;15.当第六条棱长为6时，manV1；16.2(1)S(1+2)ab;(2)V=.4ab侧