第二讲解三角形应用举例

第二讲解三角形应用举例一、知识扫描：1、在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.2、坡度、仰角、俯角、方位角①方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；②坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；③仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.二、基础练习：第2讲解三角形应用举例知识梳理：实际问题中的常用角（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏东等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡比）※相关链接※1、一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。2、解斜三角形应用题常有以下几种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。二、基础检测：1．在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.35B.53C.85D.582．在△ABC中，设命题p：asinB＝bsinC＝csinA；命题q：△ABC是等边三角形．那么命题p是命题q的________条件．3．如果在测量中，某渠道斜坡的坡比为34，设α为坡角，那么cosα等于()A.35B.45C.34D.434．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosAsinB，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．若Rt△ABC的斜边AB＝2，内切圆的半径为r，则r的最大值为()A.2B．1C.22D.2－16．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里7．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值等于()A.217B.22C.32D.57148.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()海里/时A.1762B．346C.1722D．3429．如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为________．10．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．○10○1111．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12.某人在C点测得塔顶A为南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．12米三、典例导悟：13.如图，公路MN和PQ在P处交汇，且∠QPN=300，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。已知拖拉机的速度为18千米/小时，如果受影响,那么学校受影响的时间为多少？14.某人在塔的正东沿着南偏西600的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为300，求塔高。15.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(2＋6)海里/小时B．20(6－2)海里/小时C．20(3＋6)海里/小时D．20(6－3)海里/小时已知△ABC中，sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35m，则此电视塔的高度是________m.如图，某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80分钟到达C点，求P、C间的距离．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，与A距离2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是()A．5(6＋2)kmB．5(6－2)kmC．10(6＋2)kmD．10(6－2)km甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了________海里．解析：如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，由题意及正弦定理，得sinθ＝BC·sin120°AC＝12，∴θ＝30°.从而BC＝AB·sinθsin∠ACB＝a·sin30°sin180°－120°－30°＝a.即甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，追上时，乙船已行驶了a海里．答案：北偏东30°a在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B、C、D，B、C两市相距20km，C、D相距34km，C城在B、D两城之间．如图所示，某时刻C市感到地表震动，8秒后B市，20秒后D市先后感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求：震中到B、C、D三市的距离．解析：在△ABC中，由题意AB－AC＝1.5×8＝12.在△ACD中，由题意AD－AC＝1.5×20＝30.设AC＝x，则AB＝12＋x，AD＝30＋x.在△ABC中，cos∠ACB＝x2＋400－12＋x22×20×x＝256－24x40x＝32－3x5x.在△ACD中，cos∠ACD＝x2＋1156－30＋x268x＝256－60x68x＝64－15x17x.∵B、C、D在一条直线上，∴64－15x17x＝－32－3x5x，即64－15x17＝3x－325.解之得x＝487(km)．∴AB＝1327，AD＝2587.答：震中距B、C、D三市分别为1327km，487km，2587km.正在向正北开的轮船看见正东方向有两座灯塔，过15分钟后，再看这两座灯塔，分别在正东南和南偏东075的方向，两座灯塔相距10海里，则轮船的速度是_______________海里/小时。如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东60°，B点北偏西45°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西75°且与B点相距156海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？海上有,AB两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和AABCD北北岛成75°视角，则,BC间的距离是()A．103海里B.1063海里C．52海里D.56如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，030，于水面C处测得B点和D点的仰角均为060，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）【来源：全,品…中&高*考+网】（18）解：在ACD中，DAC＝30°，ADC＝60°－DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1又BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA5分在ABC中，ABCACBCAABsinsin，【来源：全,品…中&高*考+网】即AB＝2062351sin60sinAC因此，km33.020623BD故B、D的距离约为0.33km。12分如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知50ABm，120BCm，于A处测得水深80ADm，于B处测得水深200BEm，于C处测得水深110CFm，求∠DEF的余弦值。【来源：全,品…中&高*考+网】(17)解：作//DMAC交BE于N，交CF于M．【来源：全,品…中&高*考+网】22223017010198DFMFDM，【来源：全,品…中&高*考+网】222250120130DEDNEN，2222()90120150EFBEFCBC．．．．．．．6分【来源：全,品…中&高*考+网】在DEF中，由余弦定理，2222221301501029816cos2213015065DEEFDFDEFDEEF.．．．．．．12分