第二课时双曲线方程及几何性质的应用33

※高二文科班数学课堂学习单33※班级姓名小组2．2.1第二课时双曲线方程及几何性质的应用一，学习目标:1、理解直线与双曲线的位置关系2、能用位置关系解决一些简单问题二，自学导航：阅读以下内容并解决相关问题1．直线与双曲线的位置关系：一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)②联立消元得：(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线，直线与双曲线。(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ0直线与双曲线有，此时称直线与双曲线，；Δ＝0直线与双曲线有，此时称直线与双曲线，Δ0直线与双曲线，此时称直线与双曲线，思考：当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线或，2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝，＝.思考：当直线的斜率不存在或斜率k＝0时，如何求弦长？[例1]已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．再思考：若将“y＝k(x－1)”改为“y＝k(x－3)”，对于(2)、(3)两个问题有无特别方法？小结：直线和双曲线的位置关系的问题，先联立方程组，转化成关于x或y的一元方程，当二次项系数为0时，就转化成了x或y的一元一次方程，只有一个解(与渐近线不重合)，这时直线与双曲线相交只有一个交点，当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．[例2]过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的弦AB.(1)求|AB|；(2)求AB的垂直平分线方程．小结：弦长问题，利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决，4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．12．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．83．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．4．过双曲线2x2－y2＝6的左焦点F1，作倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.五，作业1．设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点．求双曲线C的离心率e的取值范围．2．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．33．过双曲线M：x2－y2b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是________．4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．5．已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2,0)作斜率为35的直线，交双曲线于M，N两点，且|MN|＝4，求双曲线方程．※高二文科班数学课堂学习单33※班级姓名小组2．2.1第二课时双曲线方程及几何性质的应用一，学习目标:2、理解直线与双曲线的位置关系2、能用位置关系解决一些简单问题二，自学导航：阅读以下内容并解决相关问题1．直线与双曲线的位置关系：一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)②联立消元得：(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线，直线与双曲线。(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ0直线与双曲线有，此时称直线与双曲线，；Δ＝0直线与双曲线有，此时称直线与双曲线，Δ0直线与双曲线，此时称直线与双曲线，思考：当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线或，提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝，＝.思考：当直线的斜率不存在或斜率k＝0时，如何求弦长？提示：把直线方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求弦长．[例1]已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．[自主解答]由x2－y2＝4，y＝kx－1，消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，(*)当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．(1)4－3k2＞0，1－k2≠0，即－233＜k＜233，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)4－3k2＝0，1－k2≠0，即k＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)4－3k2＜0，1－k2≠0，即k＜－233或k＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，(1)当－233＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜233时，直线与双曲线有两个公共点．(2)当k＝±1或k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)当k＜－233或k＞233时，直线与双曲线没有公共点．再思考：若将“y＝k(x－1)”改为“y＝k(x－3)”，试解决(2)、(3)两个问题？解：∵直线y＝k(x－3)过定点(3,0)，且定点(3,0)在双曲线x2－y2＝4的内部，直线与双曲线总有公共点．∴当k＝±1时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k≠±1时，直线与双曲线有两个公共点．小结：解决直线和双曲线的位置关系的问题，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元方程，再根据一元方程去讨论直线和双曲线的位置关系，这时首先要看二次项系数是否为零，当二次项系数为0时，就转化成了x或y的一元一次方程，只有一个解(与渐近线不重合)，这时直线与双曲线相交只有一个交点，当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．[例2]过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的弦AB.(1)求|AB|；(2)求AB的垂直平分线方程．[自主解答]双曲线焦点为F1(－2,0)、F2(2,0)，将直线AB方程：y＝33(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∴x1＋x2＝12，x1x2＝－138.∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋13·122－4×－138＝3.(2)设AB的中点M(x0，y0)，由(1)得x0＝x1＋x22＝14，y0＝33(14＋2)＝334，又kAB＝33.∴AB的垂直平分线方程为y－334＝－3(x－14)即3x＋y－3＝0[悟一法]小结：对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决，另外在弦的问题中，经常遇到与弦中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决，另外要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可转化为中点、弦长问题来解决．4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．1解析：∵双曲线方程为x2－y24＝1，故P(1，0)为双曲线右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．答案：B2．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8解析：在△PF1F2中|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(22)2＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.答案：B3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．解析：由x2－y2＝6，y＝kx＋2，得x2－(kx＋2)2＝6.则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．则Δ＝40－24k20，x1＋x2＝4k1－k20，x1x2＝－101－k20，得－153k－1.答案：(－153，－1)4．过双曲线2x2－y2＝6的左焦点F1，作倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．因为直线AB的倾斜角是30°，且直线过左焦点，所以直线AB的方程是y＝33(x＋3)，联立方程组，得y＝33（x＋3），2x2－y2＝6，消去y，得5x2－6x－27＝0，解这个方程得x1＝3，x2＝－95，分别代入直线AB方程，得y1＝23，y2＝235，所以A，B的坐标分别为(3，23)，(－95，235)．所以|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（3＋95）2＋（23－235）2＝1635.,五，作业1．设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点．求双曲线C的离心率e的取值范围．解：∵双曲线与直线相交于不同的两点，∴x2a2－y2＝1，x＋y＝1，有两组不同的解．消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0∴1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a21－a20，解得－2a2且a≠±1又∵a0，∴0a2且a≠1，又e＝1＋a2a＝1＋1a2，∴e62且e≠2.∴e的取值范围是(62，2)∪(2，＋∞).2．(2011·新课标全国卷)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．3解析：设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，所以|AB|＝2×b2a＝2×2a.∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.答案：B3．过双曲线M：x2－y2b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是________．解析：双曲线渐近线方程y＝±bx，直线方程为y＝x＋1，两式联立消去y，得x1＝1b－1，x2＝－1b＋1.由|AB|＝|BC|，知x1－x2＝x2＋1⇒b＝3，∴c2＝b2＋a2＝10.∴e＝ca＝10.答案：104．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：可得直线的斜率为3，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要ba≥3，∴e2＝1＋ba2≥4.答案：