第五章-微扰理论lt

第五章例题剖析1.一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿x方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。[解]（1）荷电为e的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为xe，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量0H相比较，显然有xeH0令xeH，显然，H可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是HHxexpHˆˆ212ˆ0222无微扰时，线性谐振子的零级波函数是)(!222122xHemmxmm当体系处于第m态时，考虑微扰的影响，则能量变为nmnmmnmmmmEEHHEE0020其中dxxxexHmmmm)()(*demm)()(*2其中xxdHeHeNemmm)()(222222dHHeNemmm)()(222利用递推公式)()(21)(11mmmmHHH故dmHHHeNeHmmmmmm)()(21)(11222利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即0mmH这表明能量一级修正为零。下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元dHHeNNeHnmnmmm)()(22dnHHHeNNennmnm)()(21)(1122deHNHeNennmm221222)()(21deHNHeNnnnmm22122)()(dnndnenmnm)()(2)()()1(2211*1*21,1,2221nmnmnne010010222002212||mmmmnmnmmnEEmEEmeEEH而)211(21010mmEEmm)211(21010mmEEmm最后得能量的二级修正为2222222200222212eemmeEEHnmnmmn故在准确到二级修正的情况下，总能量为222221emE（2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。222222222222ˆ22ˆˆeexpxexpH22202222222ˆ222ˆeHexp其中2exx定态薛定谔方程是mEeHH22202ˆˆ而0000mEH令0，则得0022202mmEeE故22222202212emeEEmm这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。2．计算氢原子由p2态跃迁到S1态时所发出的光谱线强度。[解]系统由状态n到状态m所发出的光谱线的强度决定于处在状态n中的原子数nN和单位时间内跃迁的几率，谱线强度表示这样跃时所放出的能量。一般地nmnmnnmANB而2322)(34nmnmnmrCeA注意到由Sp12谱线的圆频率为34122183eEE而cos,)(221221221221rzzyxrp2有三个状态，即（2，1，0），（2，1，1）和（2，1，-1）（1）先计算z的矩阵元ddYYdrrRrrRzsincos)()()(00*100103*21100,210利用公式100031cosYY这是因为cos43,411000YY可得：010*10103*21100,210sin31)()()(ddYYdrrRrrRz0103*2131)()(31JdrrRrrR其中令0310*21)()(drrrRrRJ同理，容易算得：010*1110*11100,2100sin3sincos)(ddYYJddYYJz0sin),(),(3)(10*1,1100,121ddYYJz（2）计算x的矩阵元故虑到)(sin2cossiniieerrxddYeeYdrRrRxiisin)(sin21)(00*100103*21100,2100sin)(3821001111*10ddYYYYJ这里用到了41,sin3,sin3001,111YeYeYii以及球谐函数的正交性。ddYeeYJxiisin)(sin2)(00*11100,211ddYYYJsin38)(4121111*112323412JJddYeeYJxiisin)(sin2)(00*11100,121ddYYYJsin38)(4121111*11232J（3）计算y的矩阵元：故虑到)(2sinsinsiniieeirryddYeeYidrRrRyiisin)(sin21)(00*10103*21100,2100sin)(384121111*10ddYYYiJ322sin)(38412)(1111*11100,211iJddYYYiJy322)(100,121iJy2222231322123222)(JiJrnm（4）最后计算2J：注意到drrRrrRJ)()(1030*2102023032300021312drearareaarar0450326dea其中令023ar注意到dttexxt01)(故!4)5(04de3232!4326)5(3264705050aaaJ谱线强度234212212)(34nmpsprCeNA3232833481420434322aeceNp201231846522012318412410172322332aceNaceNpp20431065232aceNp其中220ea为玻尔半径