第五章 电子-声子相互作用2

-1-第五章电子－声子相互作用§1互作用过程一、有效质量近似和带边能量带底附近能带电子能量*222mkck（5.1.1）带边能量与原子间距有关。例如：电子在周期场中的势能函数为0])([21)(222naxbmxVbnaxbanbnaxbna)1(其中ba4，n为整数，为常量．用近自由电子近似，求出晶体电子的第一个和第二个带隙宽度．解：对于0n，2||0||)(21)(222axbbxxbmxVxiGGxiGGxiGGeVeVeVVxV3322110)(，其中laGl2计算得到2/2/22222061)(211)(1aabbbmdxxbmadxxVaV-2-2/2/11)(1aaxiGGdxexVaV223222241)(211amdxexbmabbxai2222/2/321)(122amdxexVaVaaxiGG∴223121||21amVEGg2222161||22amVEGg二、形变势模型LA声子伴随晶格常数和体积的局域变化。带边能量发生移动)(1rcVVVVVVccc（5.1.2）电声相互作用的形变势模型。三、形变势模型的电声相互作用哈密顿)()(rurqriqqriqqqqeaeaqeVi))((2（2.5.31）二次量子化表示)()()(1eprrcrrdH-3-qkkqkqkqkqqqCCaCCaqeVicH,1ep))((2（5.1.4）给出电声相互作用的两个基本过程。图5.1电子吸收、发射声子图5.2电子－空穴对以上是epH的一级过程。二级过程由基本过程组成：图5.3§2电子与声频支声子的相互作用晶格模型简单晶格只有声频支振动。电阻效应。N过程、U过程。一、晶格模型中电声互作用哈密顿量离子处于格点不动时，电子与离子的互作用ljjeilrVH,0)(（5.2.1）离子位移)(tul，电子与离子的互作用-4-ljljeiulrVH,)(（5.2.2）能带电子与晶格振动的相互作用ljjljeieieplrVulrVHHH,0)}()({ljjllrVu,)(jjrh)(（5.2.3）其中电声相互作用的一个电子的单体势ljljlrVurh)()(（5.2.4）电声相互作用的二次量子化哈密顿)()()(eprrhrrdH对)(r和)(r＋作傅氏变换kkkrCVr)(1)(，kkkrCVr)(1)(（5.2.6）其中)(rk是Bloch函数。得到','ep|)(|'kkkkCCkrhkHlkkkklCCklrVku','|)(|'（5.2.8）lu用简正坐标、声子算符表示sqliqqsqsleQeNMu,1-5-sqliqqsqsqsqseaaeNM,)(21（5.2.9）其中格波偏振指标},,{21LTTs。得到（5.2.10）lkkkksqqsliqqsqsqsCCklrVkeeaaNMH',',ep|)(|')(21用平面波代替布洛赫函数，利用nKqkkllkqkieN,')'(1（5.2.19）晶格模型中电声互作用哈密顿量（5.2.21）kkKqkqsqsnqssqKqqsCCaaKqeVMNiHnn))}(({2,ep二、N过程和U过程（i）N过程（正常过程）kkqkqsqsqssqqqsCCaaqeVMNiH))((2,epTA声子0qTqe，只有LA声子的贡献：kkqkqqqqqqCCaaqeVMNiH))((2ep（5.2.22）kkqkqqqqqqCCaaqeVMNi))((2-6-（ii）U过程（倒逆过程）kkKqkqsqsnqssqKqqsCCaaKqeVMNiHnn))}(({2,epLA声子和TA声子对于互作用都有贡献。倒逆过程是大角度散射过程。三、准动量守恒、实过程讨论电声互作用系统由初态tEiiei|到终态tEifef|的跃迁概率。记电子的初态tikek|和终态tikek''|。使epH含时，令000)(epeptHttH由含时微扰理论，电声系统由初态tEiiei|到终态tEifef|的跃迁概率222ep))(2()2(sin||2)(ififEEttEEiHffiW)2(21||2)(2epifEEiHft大时)(||22epifEEiHf＝（5.2.27）-7-其中用到公式)(sinlim22xtxxtt。跃迁能量守恒qkkifEE'0（5.2.28）即qkk'（5.2.30）虚过程：电子携带着晶格畸变运动；没有真的发射声子。§3声子的自能修正计算LA声子由于电声互作用的自能修正。N个离子浸没在均匀电子气体中，未微扰的LA声子长波频率MNesq2204（5.3.1）LA声子的哈密顿量qqqqqqpQQPPH}{212（5.3.2）金属的总哈密顿量eeeeppHHHHH（5.3.3）其中电声互作用为-8-qqqqQMHep（5.2.24）由海森伯方程],[HPPiqq，得到运动方程qqqqqMQQ2（5.3.4）其中)(qeVMNiMqqq（5.2.24）下面通过讨论离子密度起伏iq与qQ的关系、q与iq的关系，建立q与qQ的关系，代入（5.3.4），讨论电子对于晶格振动能量和运动的影响；将得到0'2qqqQQ（i）离子密度起伏iq晶格振动产生极化)()(ruNerP公式prP)(（束缚电荷）)(rei傅里叶展开系数qqiqQqeMNi)(（5.3.9）（ii）q与iq的关系公式fD，E0离子运动比电子慢得多，有)(reDi，)()(0ereEi-9-进行傅里叶展开，利用)()()(0qEqqDr，得到iqrrqqq)()(1（5.3.13）（iii）q与qQ的关系iqrrqqqqqqqeVMNiM])()(1)[(])(][)()(1)[(qqrrqqQqeMNiqqqeVMNiqqrrsQqeqqqeMN222)]()()(1[4qrrsQqqMNe)()(142qrrqQqq)()(12代入运动方程qqqqqMQQ2（5.3.4）得到有电子屏蔽作用的LA声子运动方程0)(2qrqqQqQ（5.3.15）结果：)(22qrqq（5.3.16）长波近似下采用Thomas-Fermi介电函数-10-22221)(qqqr22F2222)(31qvMmqqq（5.3.18）即qcqL（5.3.19）其中LA格波速度mMkvMmcF33FL（5.3.20）这是Bohm-Staver声速公式。讨论：（1）LA格波速度与费米速度线性相关。（2）费米速度很大，金属电子的定向运动速度很小。)km/s(36410364.01052101.91031.326103134ammkvFF)mm/s(0625.0)m/s(1025.6106.110106.1101055196236nejv)m/s(5.6325.575)km/s(36418406033FLFvvMmc（3）晶体中声子的速度电子的平均运动速度。§4电子与光频声子的相互作用电子与LO声子的相互作用更强。极化子（电子+极化），电子自能修正。-11-LO振动：一方面，产生极化电场，使TOLO；有LST关系)()0(2TO2LO（2.6.27）另一方面，LO振动的极化电场对于离子晶体中电子有重要作用。本节讨论LO声子对于离子晶体中电子的影响。首先在长波近似下建立LO振动极化电场与电子互作用的哈密顿：)()(uuMrW（2.6.1）)(414)(2212rWrE（5.4.2）)()(rrE（5.4.7）得到LO振动极化电场中电子的电势能)(re互作用哈密顿)()]()[(eprrerrdH由于)(2LriqqriqqqqeaeaeNMuu（5.4.1）对于N过程-12-)(4,2epkqkqkqkqqkqCCaCCaqqeeFiH（5.4.11）其中)11(80LF（5.4.5）极化子概念：极化子（polaron）＝电子＋极化极化范围与晶格常数相比：大极化子，小极化子大极化子可采用连续模型；Frohlich的微扰处理：对于慢电子L222mkk（5.4.12）零级近似波函数（T=0K）qqkkk0||0||0;|（5.4.13）（作业16：计算一阶能量修正。）计算一级近似波函数、二阶能量修正qqkkqqkkkHqkEL2ep0;||1;（5.4.15）该式表示电子自能修正过程（图5.3a）:)(4,2epkqkqkqkqqkqCCaCCaqqeeFiH（5.4.11）)(4,kqkqkqkqqkCCaCCaqeFi-13-)(4,kqkqqkkqqkCCaCCaqeFiqqqqqqkHqkqkHkkHqk0;||1;1;||0;0;||1;epep2epqkqkqqkkqqqkCCaCCak1;|)(|0;~qkqkqqkkqqkCCaCCaqk0;|)(|1;qkqkqqqqkkqqkCCaqkqkCCak0;||1;1;||0;qqqqqkqkkk1;|1;0;|0;=-1所以qqkkqqkkkHqkEL2ep0;||1;（5.4.15）qqkkkqeFL2)4(计算取和（只考虑慢电子），得到]241224)[2()2()4(02202232LLLkkmqdqmkmqdqmeFE)61(222mkELk（5.4.18）其中0223224)2()2()4(LLmqdqmeFLLLmFe28222（5.4.19）（作业17：由（5.4.15）推导（5.4.18））-14-电子与LO声子相互作用的结果讨论：（1）使导带的带边能量降低了L（2）电子有效质量增大为6/1**polmm（5.4.20）称为极化子有效质量。在电子周围激发的平均声子数110;||0;kaakNqqq声对于慢电子，令0k，得到0222232]2[)2(4)2()4(LmqdqmeFN声积分，求得02223224)2(4)2()4(LLmqdqmmeFN声